Kitsas riigieksam 2021, ülesanne 12: Pudrupott ja lusikas
Mare keetis putru silindrikujulises potis, mille sisemine läbimõõt oli 24 cm. Poti sisemine kõrgus oli 15 cm.
1.Kas sellesse potti mahub 7 liitrit putru? Põhjendage oma vastust.
2.Pudru segamiseks kasutas Mare 26 cm pikkust lusikat. Kogemata libises lusikas käest ja vajus täiesti pudru sisse. Mitu liitrit putru pidi potis selleks vähemalt olema? Arvutage minimaalne kogus ja esitage täpsusega 0,1 liitrit. Lusika kuju ja paksus jätke arvestamata.
Allikas: Matemaatika kitsas riigieksam 2021, ülesanne 12
Ülesande joonis
24 cm15 cm
Lohista, et pöörata
Valemikaart: silinder
V=πr2h
Sk=2πrh,St=2πr(r+h)
Valemikaart: pythagorase teoreem
a2+b2=c2
a,b on kaatetid,c on hu¨potenuus
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Arvuta poti ruumala ja teisenda liitriteks (1 l=1 dm3=1000 cm3). Lusikas vajub kõige madalamale, kui see on viltu üle kogu läbimõõdu: siis on lusikas täisnurkse kolmnurga hüpotenuus.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Arvuta poti ruumala
Esimeses küsimuses tuleb võrrelda poti ruumala seitsme liitriga. Pott on silinder, mille põhja raadius on pool läbimõõdust: r=24:2=12 cm, ja kõrgus h=15 cm.
Kirjutame silindri ruumala valemi.
V=πr2h
Asendame r=12 ja h=15.
V=π⋅122⋅15=2160π≈6785,8 cm3
Ruumala valemis on raadius, mitte läbimõõt, seega tuleb läbimõõt enne kahega jagada. 122=144 ja 144⋅15=2160.
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 1Samm 2: Võrdle seitsme liitriga
Teisendame liitriteks: 1 liiter on 1000 cm³.
6785,8 cm3≈6,79 l
Poti ruumala on väiksem kui seitse liitrit.
6,79 l<7 l⇒ei mahu
24 cm15 cmV≈6,79 l
Lohista, et pöörata
1 l=1 dm3=1000 cm3, seega jagame kuupsentimeetrid tuhandega. Isegi täis pott mahutab ainult umbes 6,79 liitrit.
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 2Samm 3: Leia, kui kõrgele lusikas ulatub
Teises küsimuses peab lusikas jääma täiesti pudru sisse. Pudrut on vaja kõige vähem siis, kui lusikas on kõige madalamal: viltu üle kogu läbimõõdu, üks ots põhja serval ja teine vastasseinal. Siis moodustavad lusikas, põhja läbimõõt ja sein täisnurkse kolmnurga.
Kirjutame Pythagorase teoreemi, kus hüpotenuus on lusikas (26 cm) ja üks kaatet läbimõõt (24 cm).
h2+242=262
Avaldame kõrguse ruudu.
h2=676−576=100
Võtame ruutjuure.
h=100=10 cm
24 cm15 cm26 cmh=10 cm
Lohista, et pöörata
Põhja tasandil on kahe punkti suurim kaugus läbimõõt 24 cm. Mida rohkem lusikas kaldu on, seda madalamale jääb selle ülemine ots, seega on kõige madalam asend selline, kus lusika otsad on läbimõõdu kaugusel. Lusikas mahub potti, sest 26 cm on lühem kui telglõike diagonaal 242+152≈28,3 cm.
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 2Samm 4: Arvuta pudru kogus
Puder peab ulatuma vähemalt 10 cm kõrguseni. Pudru kuju on silinder, mille raadius on 12 cm ja kõrgus 10 cm.
Asendame ruumala valemisse r=12 ja h=10.
V=π⋅122⋅10=1440π≈4523,9 cm3≈4,52 l
Ümardame kümnendikeni ülespoole, sest 4,5 liitrist jääks puudu.
V≈4,6 l
24 cm15 cm26 cmh=10 cmV≈4,52 l
Lohista, et pöörata
Täpne minimaalne kogus on 1440π cm³ ehk umbes 4,52 liitrit. Kuna küsitakse, mitu liitrit pidi putru vähemalt olema, ei sobi 4,5 liitrit: see on vähem kui 4,52 liitrit ja lusika ots jääks pudrust välja. Seepärast ümardame ülespoole: 4,6 liitrit.
VASTUS
1) Seitse liitrit putru potti ei mahu, sest poti ruumala on 2160π cm3≈6,79 liitrit, mis on vähem kui 7 liitrit. 2) Et lusikas vajuks täiesti pudru sisse, pidi potis olema vähemalt 4,6 liitrit putru (täpselt 1440π cm3≈4,52 liitrit).