Proovi ise enne Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje 2. 1. samm 3. Kogu lahendus Vihje Nullkohad saad ruutvõrrandist x 2 − x − 12 = 0 x^2 - x - 12 = 0 x 2 − x − 12 = 0 x x x
Näita vihjet Näita kogu lahendust 1 Küsimus 1 Samm 1: Leia nullkohad Esimeses küsimuses on vaja nullkohti, kus funktsiooni väärtus on null. Lahendame ruutvõrrandi, kus a = 1 a = 1 a = 1 b = − 1 b = -1 b = − 1 c = − 12 c = -12 c = − 12
Võrdsustame funktsiooni nulliga.
x 2 − x − 12 = 0 x^2 - x - 12 = 0 x 2 − x − 12 = 0 Kirjutame ruutvõrrandi lahendivalemi.
x 1 ; 2 = − b ± b 2 − 4 a c 2 a x_{1;2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} x 1 ; 2 = 2 a − b ± b 2 − 4 a c Asendame kordajad ja arvutame diskriminandi.
x 1 ; 2 = 1 ± 1 + 48 2 = 1 ± 49 2 = 1 ± 7 2 x_{1;2} \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{\frac{1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}} \mathrel{\htmlData{seg=2}{=}} \htmlData{seg=2}{\frac{1 \pm \sqrt{49}}{2}} \mathrel{\htmlData{seg=3}{=}} \htmlData{seg=3}{\frac{1 \pm 7}{2}} x 1 ; 2 = 2 1 ± 1 + 48 = 2 1 ± 49 = 2 1 ± 7 Arvutame mõlemad lahendid.
x 1 = 1 − 7 2 = − 3 , x 2 = 1 + 7 2 = 4 x_1 \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{\frac{1 - 7}{2}} \mathrel{\htmlData{seg=2}{=}} \htmlData{seg=2}{\hl{-3}, \qquad x_2} \mathrel{\htmlData{seg=3}{=}} \htmlData{seg=3}{\frac{1 + 7}{2}} \mathrel{\htmlData{seg=4}{=}} \htmlData{seg=4}{\hl{4}} x 1 = 2 1 − 7 = − 3 , x 2 = 2 1 + 7 = 4 Miks nii? Diskriminant on b 2 − 4 a c = ( − 1 ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 12 ) = 1 + 48 = 49 b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 b 2 − 4 a c = ( − 1 ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 12 ) = 1 + 48 = 49 − 3 + 4 = 1 -3 + 4 = 1 − 3 + 4 = 1 − 3 ⋅ 4 = − 12 -3 \cdot 4 = -12 − 3 ⋅ 4 = − 12 2 Küsimus 1 Samm 2: Leia haripunkt Parabool on sümmeetriline, seega on haripunkti esimene koordinaat nullkohtade keskel.
Kirjutame haripunkti esimese koordinaadi valemi.
x h = − b 2 a x_h = -\frac{b}{2a} x h = − 2 a b Asendame a = 1 a = 1 a = 1 b = − 1 b = -1 b = − 1
x h = − − 1 2 ⋅ 1 = 1 2 = 0,5 x_h \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{-\frac{-1}{2 \cdot 1}} \mathrel{\htmlData{seg=2}{=}} \htmlData{seg=2}{\frac{1}{2}} \mathrel{\htmlData{seg=3}{=}} \htmlData{seg=3}{\hl{0{,}5}} x h = − 2 ⋅ 1 − 1 = 2 1 = 0 , 5 Teise koordinaadi saame funktsiooni väärtusest.
y h = f ( 0,5 ) = 0,5 2 − 0,5 − 12 = 0,25 − 0,5 − 12 = − 12,25 y_h \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{f(0{,}5)} \mathrel{\htmlData{seg=2}{=}} \htmlData{seg=2}{0{,}5^2 - 0{,}5 - 12} \mathrel{\htmlData{seg=3}{=}} \htmlData{seg=3}{0{,}25 - 0{,}5 - 12} \mathrel{\htmlData{seg=4}{=}} \htmlData{seg=4}{\hl{-12{,}25}} y h = f ( 0 , 5 ) = 0 , 5 2 − 0 , 5 − 12 = 0 , 25 − 0 , 5 − 12 = − 12 , 25 Kirjutame haripunkti koordinaadid.
H ( 0,5 ; − 12,25 ) \hl{H(0{,}5;\,-12{,}25)} H ( 0 , 5 ; − 12 , 25 ) Miks nii? Sama tulemuse annab nullkohtade keskpunkt: x h = − 3 + 4 2 = 0,5 x_h = \frac{-3 + 4}{2} = 0{,}5 x h = 2 − 3 + 4 = 0 , 5 a = 1 > 0 a = 1 > 0 a = 1 > 0 3 Küsimus 2 Samm 3: Viiruta kujund ja kirjuta integraal Teises küsimuses on kujund parabooli ja x x x − 3 -3 − 3 4 4 4 x x x
Pindala on funktsiooni määratud integraali vastandarv lõigul [ − 3 ; 4 ] [-3;\,4] [ − 3 ; 4 ]
S = − ∫ − 3 4 ( x 2 − x − 12 ) d x S = -\int_{-3}^{4} (x^2 - x - 12)\,dx S = − ∫ − 3 4 ( x 2 − x − 12 ) d x Miks nii? Valem S = ∫ a b ( f ( x ) − g ( x ) ) d x S = \int_a^b (f(x) - g(x))\,dx S = ∫ a b ( f ( x ) − g ( x )) d x f f f x x x y = 0 y = 0 y = 0 S = ∫ − 3 4 ( 0 − ( x 2 − x − 12 ) ) d x = − ∫ − 3 4 ( x 2 − x − 12 ) d x S = \int_{-3}^{4} \big(0 - (x^2 - x - 12)\big)\,dx = -\int_{-3}^{4} (x^2 - x - 12)\,dx S = ∫ − 3 4 ( 0 − ( x 2 − x − 12 ) ) d x = − ∫ − 3 4 ( x 2 − x − 12 ) d x 4 Küsimus 2 Samm 4: Leia algfunktsioon Integreerime liikmete kaupa.
F ( x ) = x 3 3 − x 2 2 − 12 x F(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - 12x F ( x ) = 3 x 3 − 2 x 2 − 12 x Miks nii? Kasutame valemit ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C ∫ x n d x = n + 1 x n + 1 + C ∫ x 2 d x = x 3 3 \int x^2\,dx = \frac{x^3}{3} ∫ x 2 d x = 3 x 3 ∫ x d x = x 2 2 \int x\,dx = \frac{x^2}{2} ∫ x d x = 2 x 2 ∫ 12 d x = 12 x \int 12\,dx = 12x ∫ 12 d x = 12 x C C C 5 Küsimus 2 Samm 5: Arvuta pindala Arvutame algfunktsiooni väärtuse ülemisel rajal.
F ( 4 ) = 64 3 − 16 2 − 48 = 64 3 − 56 = − 104 3 F(4) \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{\frac{64}{3} - \frac{16}{2} - 48} \mathrel{\htmlData{seg=2}{=}} \htmlData{seg=2}{\frac{64}{3} - 56} \mathrel{\htmlData{seg=3}{=}} \htmlData{seg=3}{-\frac{104}{3}} F ( 4 ) = 3 64 − 2 16 − 48 = 3 64 − 56 = − 3 104 Arvutame algfunktsiooni väärtuse alumisel rajal.
F ( − 3 ) = − 27 3 − 9 2 + 36 = − 9 − 4,5 + 36 = 45 2 F(-3) \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{\frac{-27}{3} - \frac{9}{2} + 36} \mathrel{\htmlData{seg=2}{=}} \htmlData{seg=2}{-9 - 4{,}5 + 36} \mathrel{\htmlData{seg=3}{=}} \htmlData{seg=3}{\frac{45}{2}} F ( − 3 ) = 3 − 27 − 2 9 + 36 = − 9 − 4 , 5 + 36 = 2 45 Newtoni-Leibnizi valemi järgi on integraal F ( 4 ) − F ( − 3 ) F(4) - F(-3) F ( 4 ) − F ( − 3 ) 6 6 6
∫ − 3 4 ( x 2 − x − 12 ) d x = − 104 3 − 45 2 = − 208 6 − 135 6 = − 343 6 \int_{-3}^{4} (x^2 - x - 12)\,dx \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{-\frac{104}{3} - \frac{45}{2}} \mathrel{\htmlData{seg=2}{=}} \htmlData{seg=2}{-\frac{208}{6} - \frac{135}{6}} \mathrel{\htmlData{seg=3}{=}} \htmlData{seg=3}{-\frac{343}{6}} ∫ − 3 4 ( x 2 − x − 12 ) d x = − 3 104 − 2 45 = − 6 208 − 6 135 = − 6 343 Pindala on integraali vastandarv.
S = 343 6 = 57 1 6 S \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{\frac{343}{6}} \mathrel{\htmlData{seg=2}{=}} \htmlData{seg=2}{\hl{57\frac{1}{6}}} S = 6 343 = 57 6 1 Miks nii? 64 3 − 56 = 64 3 − 168 3 = − 104 3 \frac{64}{3} - 56 = \frac{64}{3} - \frac{168}{3} = -\frac{104}{3} 3 64 − 56 = 3 64 − 3 168 = − 3 104 ( − 3 ) 3 = − 27 (-3)^3 = -27 ( − 3 ) 3 = − 27 343 : 6 = 57 343 : 6 = 57 343 : 6 = 57 1 1 1 343 6 = 57 1 6 ≈ 57,17 \frac{343}{6} = 57\frac{1}{6} \approx 57{,}17 6 343 = 57 6 1 ≈ 57 , 17 VASTUS 1) Funktsiooni nullkohad on x 1 = − 3 x_1 = -3 x 1 = − 3 x 2 = 4 x_2 = 4 x 2 = 4 H ( 0,5 ; − 12,25 ) H(0{,}5;\,-12{,}25) H ( 0 , 5 ; − 12 , 25 ) 57 1 6 57\frac{1}{6} 57 6 1
Pindalaks kirjutatakse integraali väärtus − 57 1 6 -57\frac{1}{6} − 57 6 1 x x x
S = − 57 1 6 S = -57\frac{1}{6} S = − 57 6 1 negatiivne pindala
Alumise raja väärtuse arvutamisel unustatakse, et ( − 3 ) 3 = − 27 (-3)^3 = -27 ( − 3 ) 3 = − 27 − 12 ⋅ ( − 3 ) = 36 -12 \cdot (-3) = 36 − 12 ⋅ ( − 3 ) = 36
F ( − 3 ) = 9 − 4,5 − 36 F(-3) = 9 - 4{,}5 - 36 F ( − 3 ) = 9 − 4 , 5 − 36 märgid rajal
Ülesanne 7 Ülesanne 9