Lai riigieksam 2025, ülesanne 7: Trigonomeetriline avaldis, graafik ja võrrand

Esimeses küsimuses tuleb avaldis lihtsustada. Viime kõik osad koosinusele, alustame murru lugejast.

Kasutame kahekordse nurga koosinuse valemit.

Põhiseosest $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ saame $1 - \sin^2 x = \cos^2 x$.

Kirjutame summa siinuse valemi.

Asendame $\alpha = x$ ja $\beta = \frac{\pi}{2}$. Teame, et $\cos\frac{\pi}{2} = 0$ ja $\sin\frac{\pi}{2} = 1$.

Arvutame.

Seega on nimetaja järgmine.

Koosinus on paarisfunktsioon, seega nurga märk ei muuda väärtust.

Asendame avaldisse leitud kujud.

Taandame murdu teguriga $2\cos x$ ja liidame.

Teises küsimuses tuleb joonestada graafik. Funktsiooni $y = 2\cos x$ suurim väärtus on $2$, vähim $-2$ ja periood $2\pi$. Arvutame väärtused iga $\frac{\pi}{2}$ järel, näiteks $2\cos\pi = 2 \cdot (-1) = -2$.

Väärtuste tabel lõigul $\left[0;\,\frac{5\pi}{2}\right]$.

Kolmandas küsimuses tuleb lahendada võrrand antud lõigul.

Kirjutame võrrandi.

Jagame mõlemad pooled arvuga $2$.

Võrrandi $\cos x = a$ üldlahend on $x = \pm\arccos a + 2\pi n$. Siin $\arccos\frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$.

Lõik on $\left[0;\,\frac{5\pi}{2}\right]$ ehk $\left[0;\,\frac{15\pi}{6}\right]$. Proovime järjest täisarve $n$.

Kui $n = 0$, sobib ainult plussmärgiga lahend, sest $-\frac{\pi}{3} < 0$.

Kui $n = 1$, sobivad mõlemad.

Ka teine lahend sobib, sest $\frac{7\pi}{3} = \frac{14\pi}{6} < \frac{15\pi}{6}$.

Kui $n = 2$, on väikseim lahend juba lõigust väljas.