Põhikooli lõpueksam 2024, ülesanne 3: Kahe täisarvu leidmine võrrandisüsteemiga

Otsime kahte arvu. Tähistame need tähtedega ja paneme kirja, kumb täht tähistab väiksemat ja kumb suuremat arvu, sest tingimused räägivad just neist.

Väiksema arvu tähistame tähega $x$.

Suurema arvu tähistame tähega $y$.

Esimene tingimus räägib arvude summast ja väiksemast arvust.

Arvude summa on $x + y$. See on $4$ korda suurem väiksemast arvust ehk võrdub arvuga $4x$.

Teine tingimus räägib kolmest viiendikust väiksemast arvust ja suuremast arvust.

$\frac{3}{5}$ väiksemast arvust on $\frac{3}{5}x$. Arvust osa leidmiseks korrutame arvu murruga.

See on $60$ võrra väiksem suuremast arvust, seega võrdub see arvuga $y - 60$.

Mõlemad tingimused peavad kehtima korraga, seega kirjutame võrrandid süsteemina.

Lahendame süsteemi asendusvõttega. Esimesest võrrandist on $y$ kõige lihtsam avaldada.

Kirjutame esimese võrrandi.

Viime liikme $x$ paremale poole. Teisele poole viidud liikme märk muutub.

Koondame paremal sarnased liikmed.

Asendame teises võrrandis $y$ asemele $3x$. Murrust vabanemiseks korrutame võrrandi mõlemat poolt arvuga $5$.

Korrutame iga liiget: $5 \cdot \frac{3}{5}x = 3x$, $5 \cdot 3x = 15x$ ja $5 \cdot 60 = 300$.

Viime $x$-iga liikme vasakule poole. Teisele poole viidud liikme märk muutub.

Koondame vasakul. Et $x$ jääks üksi, jagame võrrandi mõlemat poolt arvuga $-12$.

Negatiivse arvu jagamisel negatiivse arvuga saame positiivse arvu.

Asendame $x = 25$ avaldisse $y = 3x$.

Kontrollime, kas arvud $25$ ja $75$ täidavad mõlemat tingimust. Arvutame kummaski võrrandis eraldi vasaku poole (vp) ja parema poole (pp).

Esimene tingimus: arvude summa ja neli korda väiksem arv.

Esimeses võrrandis on pooled võrdsed.

Teine tingimus: kolm viiendikku väiksemast arvust ja suurem arv miinus $60$.

Ka teises võrrandis on pooled võrdsed. Mõlemad arvud on täisarvud ja $25 < 75$, nagu tähistades eeldasime.