Põhikooli lõpueksam 2024, ülesanne 5: Püstprismast ja poolsilindrist koosneva keha ruumala
Joonisel on keha, mis koosneb kahest osast: püstprismast ja poolest silindrist. Püstprisma kõrgus on CF=8 cm ning põhi on täisnurkne kolmnurk, mille kaks külge on AC=10,9 cm ja BC=6 cm. Arvuta joonisel oleva keha ruumala.
Allikas: Põhikooli matemaatika lõpueksam 2024, ülesanne 5
Ülesande joonis
ABCDEFKL
Lohista, et pöörata
Valemikaart: pythagorase teoreem
a2+b2=c2
a,b on kaatetid,c on hu¨potenuus
Valemikaart: kolmnurga pindala
S=2a⋅h
h on ku¨ljele a to˜mmatud ko˜rgus
Valemikaart: püstprisma
V=Sp⋅h
St=2Sp+Sk
Sk=P⋅h,P on po˜hja u¨mbermo˜o˜t
Valemikaart: silinder
V=πr2h
Sk=2πrh,St=2πr(r+h)
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Arvuta prisma ja poolsilindri ruumala eraldi ja liida need. Prisma põhja pindala jaoks on vaja teist kaatetit AB; poolsilindri põhja läbimõõt on lõik BC.
1Samm 1Peidetud
1
Samm 1: Uuri prisma põhja
Keha ruumala on prisma ja poolsilindri ruumalade summa. Alustame prismast. Prisma põhi on kolmnurk ABC. Joonisel on täisnurk tipu B juures.
Täisnurga vastas olev külg on hüpotenuus, seega on AC hüpotenuus.
AC=10,9 cm(hu¨potenuus)
Täisnurga moodustavad küljed on kaatetid. Kaatet BC on teada, kaatet AB tuleb leida.
BC=6 cm,AB=?
10,9 cm6 cmABABCDEFKL
Lohista, et pöörata
Hüpotenuus on täisnurga vastas olev külg ja ühtlasi kolmnurga pikim külg. Täisnurkse kolmnurga pindala arvutamiseks on vaja mõlemat kaatetit.
2Samm 2Peidetud
2
Samm 2: Leia kaatet AB Pythagorase teoreemiga
Kirjutame Pythagorase teoreemi: kaatetite ruutude summa on hüpotenuusi ruut.
AB2+BC2=AC2
Avaldame otsitava kaateti ruudu: viime BC2 paremale poole, kus selle märk muutub.
AB2=AC2−BC2
Asendame AC=10,9 cm ja BC=6 cm ning arvutame.
AB2=10,92−62=118,81−36=82,81
Võtame ruutjuure. Pikkus on positiivne.
AB=82,81=9,1 (cm)
10,9 cm6 cm9,1 cmABCDEFKL
Lohista, et pöörata
Otsime kaatetit, seega tuleb hüpotenuusi ruudust teise kaateti ruut lahutada, mitte liita. Et 9,12=82,81, siis 82,81=9,1.
3Samm 3Peidetud
3
Samm 3: Arvuta prisma põhja pindala
Täisnurkse kolmnurga pindala on kaatetite korrutis jagatud kahega, sest üks kaatet on teisele tõmmatud kõrgus.
Sp=2AB⋅BC
Asendame kaatetid AB=9,1 cm ja BC=6 cm.
Sp=29,1⋅6=254,6=27,3(cm2)
10,9 cm6 cm9,1 cmSp=27,3 cm2ABCDEFKL
Lohista, et pöörata
4Samm 4Peidetud
4
Samm 4: Arvuta prisma ruumala
Kirjutame püstprisma ruumala valemi: põhja pindala korda kõrgus.
V1=Sp⋅h
Asendame Sp=27,3 cm2 ja kõrguse h=CF=8 cm.
V1=27,3⋅8=218,4(cm3)
10,9 cm6 cm9,1 cm8 cmABCDEFKL
Lohista, et pöörata
Püstprisma kõrgus on külgserv, sest külgservad on põhjaga risti.
5Samm 5Peidetud
5
Samm 5: Leia poolsilindri raadius
Nüüd leiame poolsilindri ruumala. Poolsilinder toetub prisma külgtahule BCFE. Selle põhi on poolring, mille läbimõõt on BC=6 cm. Poolsilindri kõrgus on sama mis prismal ehk 8 cm.
Raadius on pool läbimõõdust.
r=2BC=26=3 (cm)
6 cm8 cm3 cmABCDEFKL
Lohista, et pöörata
Punkt K on lõigu BC keskpunkt ehk poolringi keskpunkt.
6Samm 6Peidetud
6
Samm 6: Arvuta poolsilindri ruumala
Terve silindri ruumala on πr2h. Meil on pool silindrit, seega võtame sellest poole.
V2=21⋅πr2h
Asendame r=3 cm ja h=8 cm. Kõigepealt astendame, siis korrutame.
V2=21⋅π⋅32⋅8=21⋅π⋅9⋅8=36π(cm3)
Arvutame taskuarvutiga ligikaudse väärtuse ja ümardame kümnendikeni.
36π≈113,1(cm3)
Sama saab, kui leida kõigepealt poolringi pindala 2π⋅32=4,5π≈14,1 cm2 ja korrutada see kõrgusega 8 cm.
7Samm 7Peidetud
7
Samm 7: Liida ruumalad
Keha koosneb kahest osast, mis ei kattu, seega liidame osade ruumalad.
V=V1+V2≈218,4+113,1=331,5(cm3)
Täpne ruumala on 218,4+36π≈331,497 cm3, mis samuti ümardub väärtuseks 331,5 cm3.
VASTUS
Prisma ruumala on 218,4 cm3 ja poolsilindri ruumala umbes 113,1 cm3, seega joonisel oleva keha ruumala on umbes 331,5 cm3.