Põhikooli lõpueksam 2024, ülesanne 7: Täisnurkse kolmnurga kõrgus, mediaan, kesklõik ja sarnasus
1.Joonesta kolmnurga ABC
1)kõrgus CH;
2)mediaan CD;
3)külgi AB ja AC ühendav kesklõik DE.
2.On teada, et CH=9 cm ja BH=5,6 cm.
1)Arvuta lõikude CB ja DE pikkused.
2)Mitu korda on kolmnurga ABC ümbermõõt suurem kolmnurga ADE ümbermõõdust?
3)Millise tunnuse põhjal on kolmnurgad ABC ja CBH sarnased?
4)Arvuta külje AB pikkus.
Allikas: Põhikooli matemaatika lõpueksam 2024, ülesanne 7
Ülesande joonis
ABC
Valemikaart: pythagorase teoreem
a2+b2=c2
a,b on kaatetid,c on hu¨potenuus
Valemikaart: sarnased kujundid
a2a1=b2b1=k
S2S1=k2
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Kõrgus CH jaotab kolmnurga kaheks täisnurkseks kolmnurgaks. Kolmnurgas CBH on teada mõlemad kaatetid. Kesklõik on paralleelne kolmanda küljega ja kaks korda lühem.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1.1Samm 1: Joonesta kõrgus CH
Esimeses küsimuses tuleb joonisele lisada kolm lõiku. Kõrgus on tipust vastasküljele tõmmatud ristlõik. Tõmbame tipust C küljega AB risti oleva lõigu. Selle aluspunkt küljel AB on H.
Kõrgus CH on küljega AB risti. Märgime punkti H juurde täisnurga.
CH⊥AB
ABCH
Kõrgus peab olema küljega AB täpselt risti, seega kasuta joonestamisel kolmnurkjoonlaua täisnurka.
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 1.2Samm 2: Joonesta mediaan CD
Mediaan ühendab tippu vastaskülje keskpunktiga. Mõõdame külje AB pikkuse, märgime selle keskpunkti D ja ühendame punktid C ja D.
Punkt D poolitab külje AB. Joonisel on võrdsed lõigud märgitud kahe kriipsuga.
AD=DB
ABCHD
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 1.3Samm 3: Joonesta kesklõik DE
Kesklõik ühendab kahe külje keskpunkte. Külje AB keskpunkt D on juba olemas. Märgime külje AC keskpunkti E ja ühendame punktid D ja E.
Punkt E poolitab külje AC. Võrdsed lõigud on märgitud ühe kriipsuga.
AE=EC
Kesklõik DE on paralleelne kolmanda küljega CB.
DE∥CB
ABCHDE
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 2.1Samm 4: Leia CB Pythagorase teoreemiga
Teise küsimuse esimeses osas tuleb leida CB ja DE. Kolmnurk CBH on täisnurkne, täisnurk on tipus H. Kaatetid on CH=9 cm ja BH=5,6 cm, hüpotenuus on CB.
Asendame CH=9 cm ja BH=5,6 cm ning arvutame ruudud.
CB2=92+5,62=81+31,36=112,36
Võtame ruutjuure. Pikkus on positiivne.
CB=112,36=10,6 (cm)
9 cm5,6 cmCBABCHDE
Kõrgus CH on küljega AB risti, seega on nurk CHB täisnurk ja CB selle vastas olev külg ehk hüpotenuus. Et 10,62=112,36, siis 112,36=10,6.
5Samm 5Peidetud
5
Küsimus 2.1Samm 5: Leia kesklõik DE
Kolmnurga kesklõik on pool kolmandast küljest. Kesklõik DE ühendab külgede AB ja AC keskpunkte, seega on kolmas külg CB.
DE=2CB
Asendame CB=10,6 cm.
DE=210,6=5,3 (cm)
9 cm5,6 cm10,6 cm5,3 cmABCHDE
6Samm 6Peidetud
6
Küsimus 2.2Samm 6: Võrdle ümbermõõte
Teise küsimuse teises osas võrdleme kolmnurkade ABC ja ADE ümbermõõte. Kolmnurga ADE iga külg on pool kolmnurga ABC vastavast küljest.
D ja E on külgede keskpunktid ning DE on kesklõik.
AD=2AB,AE=2AC,DE=2CB
Liidame kolmnurga ADE küljed. Ühise nimetajaga murrud liidame ühele murrujoonele.
PADE=2AB+2AC+2CB=2AB+AC+CB=2PABC
Kolmnurga ADE ümbermõõt on pool kolmnurga ABC ümbermõõdust, seega on ABC ümbermõõt 2 korda suurem.
PABC:PADE=2
9 cm5,6 cm10,6 cm5,3 cmABCHDE
Kui kõik küljed on kaks korda lühemad, on ka ümbermõõt kaks korda väiksem. Külgede pikkusi ei ole selleks vaja välja arvutada.
7Samm 7Peidetud
7
Küsimus 2.3Samm 7: Leia võrdsed nurgad
Teise küsimuse kolmandas osas tuleb leida, millise tunnuse põhjal on kolmnurgad ABC ja CBH sarnased. Otsime võrdseid nurki.
Nurk B on mõlemal kolmnurgal ühine.
∠ABC=∠CBH
Kummaski kolmnurgas on täisnurk: kolmnurgas ABC tipus C ja kolmnurgas CBH tipus H.
∠ACB=∠CHB=90∘
Kaks nurka on vastavalt võrdsed, seega on kolmnurgad sarnased tunnuse NN põhjal.
△ABC∼△CBH(NN)
9 cm5,6 cm10,6 cm5,3 cmABCHDE
Tunnus NN: kui ühe kolmnurga kaks nurka on vastavalt võrdsed teise kolmnurga kahe nurgaga, siis on kolmnurgad sarnased. Tähtede järjekord näitab vastavaid tippe: A ja C, B ja B, C ja H.
8Samm 8Peidetud
8
Küsimus 2.4Samm 8: Koosta võrre vastavatest külgedest
Teise küsimuse neljandas osas tuleb leida AB. Sarnaste kolmnurkade vastavad küljed on võrdelised. Kolmnurga ABC küljele AB vastab kolmnurga CBH külg CB ja küljele BC vastab külg BH.
Kirjutame vastavate külgede suhted võrdena.
CBAB=BHBC
Asendame CB=BC=10,6 cm ja BH=5,6 cm.
10,6AB=5,610,6
AB ja CB on kummagi kolmnurga hüpotenuusid (täisnurga vastas). BC ja BH on kaatetid ühise nurga B kõrval.
9Samm 9Peidetud
9
Küsimus 2.4Samm 9: Arvuta AB
Võrde põhiomaduse järgi on välisliikmete korrutis võrdne siseliikmete korrutisega.
AB⋅5,6=10,6⋅10,6
Et AB jääks üksi, jagame võrrandi mõlemat poolt arvuga 5,6.
AB⋅5,6=112,36:5,6
Arvutame jagatise ja ümardame kümnendikeni.
AB=5,6112,36=20,064…≈20,1 (cm)
9 cm5,6 cm10,6 cm5,3 cm≈ 20,1 cmABCHDE
Kontroll teist teed pidi: täisnurkses kolmnurgas ABC on CH2=AH⋅BH, seega AH=81:5,6≈14,46 cm ja AB=AH+BH≈14,46+5,6≈20,1 cm.
VASTUS
1) Kõrgus CH, mediaan CD ja kesklõik DE on joonisel. 2.1) CB=10,6 cm ja DE=5,3 cm. 2.2) Kolmnurga ABC ümbermõõt on 2 korda suurem kolmnurga ADE ümbermõõdust. 2.3) Kolmnurgad ABC ja CBH on sarnased tunnuse NN põhjal (ühine nurk B ja täisnurk). 2.4) Külje AB pikkus on umbes 20,1 cm.