Põhikooli lõpueksam 2025, ülesanne 5: Kahe arvu leidmine võrrandisüsteemiga

Ülesandes tuleb leida kaks arvu. Tähistame need tähtedega, siis saame tingimused kirja panna võrranditena.

Tähistame esialgse esimese arvu tähega $x$ ja esialgse teise arvu tähega $y$.

Esimeses tingimuses muudetakse mõlemat arvu ja saadud arvud liidetakse.

Esimese arvu vähendamine $15$ võrra tähendab, et lahutame sellest $15$.

Teise arvu vähendamine $5$ korda tähendab, et jagame selle arvuga $5$.

Saadud arvude summa on $16$. Kirjutame esimese võrrandi.

Teises tingimuses muudetakse jälle esialgseid arve ja võrreldakse saadud arve.

Esialgse esimese arvu suurendamine $4$ võrra tähendab, et liidame sellele $4$.

Esialgse teise arvu suurendamine $2$ korda tähendab, et korrutame selle arvuga $2$.

Saadud esimene arv on $20$ võrra väiksem kui saadud teine arv. Seega võrdub see teise arvuga, millest on lahutatud $20$.

Enne süsteemi lahendamist lihtsustame mõlemat võrrandit. Esimeses võrrandis on murd.

Jätame sulud ära. Murrust vabanemiseks korrutame võrrandi mõlemat poolt arvuga $5$.

Korrutame iga liikme viiega: $5 \cdot x = 5x$, $5 \cdot 15 = 75$, $\frac{y}{5} \cdot 5 = y$ ja $16 \cdot 5 = 80$.

Viime arvu $-75$ paremale poole, kus selle märk muutub.

Liidame paremal poolel arvud.

Viime $y$-iga liikme vasakule ja arvu $4$ paremale poole. Teisele poole viidud liikmete märk muutub.

Arvutame paremal poolel.

Saime kahe võrrandiga süsteemi. Lahendame selle asendusvõttega.

Kirjutame lihtsustatud võrrandid süsteemina.

Teises võrrandis on $x$ ilma kordajata, seega on seda lihtne avaldada. Viime $-2y$ paremale poole.

Asendame esimeses võrrandis $x$ asemele avaldise $2y - 24$. Avaldis läheb sulgudesse, sest korrutame seda viiega.

Avame sulud: korrutame viiega sulgude mõlemat liiget.

Koondame $y$-iga liikmed ja viime arvu $-120$ paremale poole.

Liidame. Et $y$ jääks üksi, jagame võrrandi mõlemat poolt arvuga $11$.

Jagamise järel saame teise arvu.

Asendame $y = 25$ avaldisse $x = 2y - 24$.

Kirjalik kontroll ei ole kohustuslik, aga see on lühike. Kontrollime ülesande teksti, mitte oma võrrandite järgi.

Esimene tingimus: vähendame arvu $26$ $15$ võrra ja arvu $25$ $5$ korda ning liidame. Summa on $16$, nagu tekstis.

Teine tingimus: suurendame arvu $26$ $4$ võrra ja arvu $25$ $2$ korda.

Saadud arvude vahe on $20$, seega esimene arv on $20$ võrra väiksem, nagu tekstis.