Allikas: Matemaatika kitsas riigieksam 2017, ülesanne 4
Valemikaart: ruutvõrrandi lahendivalem
ax2+bx+c=0
x1;2=2a−b±b2−4ac
Arvtelg
Täitub sammus 3.
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Ava sulud ja vii kõik liikmed vasakule poole. Saad ruutvõrratuse; leia ruutliikme nullkohad ja mõtle, kus üles avanev parabool on x-teljest allpool.
1Samm 1Peidetud
1
Samm 1: Ava sulud
Võrratuse mõlemal poolel on korrutis, mille avame.
Vasakul korrutame x sulgude mõlema liikmega, paremal 4 sulgude mõlema liikmega.
x2+x<4+4x
2Samm 2Peidetud
2
Samm 2: Vii kõik liikmed vasakule
Lahutame mõlemast poolest 4 ja 4x.
x2+x−4−4x<0
Koondame sarnased liikmed.
x2−3x−4<0
Ruutvõrratust on kõige lihtsam lahendada siis, kui ühel pool on null. Liikme viimisel teisele poole muutub selle märk; võrratuse märk jääb samaks, sest me ei korruta ega jaga negatiivse arvuga.
3Samm 3Peidetud
3
Samm 3: Leia ruutfunktsiooni nullkohad
Lahendame vastava ruutvõrrandi, kus a=1, b=−3 ja c=−4.
Võrdsustame vasaku poole nulliga.
x2−3x−4=0
Arvutame diskriminandi.
D=b2−4ac=(−3)2−4⋅1⋅(−4)=9+16=25
Kirjutame lahendivalemi.
x1;2=2a−b±D=23±25=23±5
Leiame mõlemad lahendid.
x1=−1,x2=4
x1=23−5=2−2=−1 ja x2=23+5=28=4. Kontroll Viète'i teoreemiga: −1+4=3 ja −1⋅4=−4.
4Samm 4Peidetud
4
Samm 4: Leia märgiskeemist lahend
Funktsiooni y=x2−3x−4 graafik on üles avanev parabool, sest ruutliikme kordaja 1 on positiivne. Parabool on x-teljest allpool (väärtus on negatiivne) nullkohtade vahel.
Otsime kohti, kus ruutfunktsioon on negatiivne.
−1<x<4
Kirjutame lahendi vahemikuna.
x∈(−1;4)
Võrratus on range (<), seega nullkohad −1 ja 4 ei kuulu lahendisse ja vahemik on lahtine. Proovipunkt: x=0 korral 0⋅1=0<4=4⋅1, võrratus kehtib. Sama tulemuse annab tegurdamine: x(x+1)−4(x+1)=(x+1)(x−4)<0.