Kitsas riigieksam 2018, ülesanne 1: Murdvõrrand ühise nimetajaga
Lahendage võrrand x−3x−1+x=x−32.
Allikas: Matemaatika kitsas riigieksam 2018, ülesanne 1
Valemikaart: ruutvõrrandi lahendivalem
ax2+bx+c=0
x1;2=2a−b±b2−4ac
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Mõlemal murrul on sama nimetaja x−3. Korruta kogu võrrand selle nimetajaga, aga jäta meelde, milline x ei sobi.
1Samm 1Peidetud
1
Samm 1: Leia, millal nimetaja on null
Mõlemas murrus on nimetaja x−3. Nulliga jagada ei saa, seega ei tohi nimetaja olla null.
Võrdsustame nimetaja nulliga.
x−3=0
Viime arvu −3 paremale poole.
x=3
Seega ei tohi x olla 3.
x=3
Kui x=3, oleks mõlema murru nimetaja null ja võrrandi pooled ei oleks määratud. Kui see arv tuleb hiljem lahendiks, on see võõrlahend ja tuleb kõrvale jätta.
2Samm 2Peidetud
2
Samm 2: Korruta nimetajaga
Murdudel on sama nimetaja. Korrutame võrrandi mõlemat poolt avaldisega x−3, siis murrud kaovad.
Korrutame iga liiget avaldisega x−3.
x−3x−1⋅(x−3)+x⋅(x−3)=x−32⋅(x−3)
Taandame murrud.
x−1+x(x−3)=2
Korrutada tuleb kõiki liikmeid, ka liiget x, millel murru kuju pole. Kuna x=3, ei ole x−3 null ja korrutamine on lubatud.
Esimeses sammus leidsime, et x ei tohi olla 3. Seega on x1=3 võõrlahend. Kontrollime teist lahendit x2=−1.
Arvutame võrrandi vasaku poole, kui x=−1.
vp=−1−3−1−1+(−1)=−4−2−1=0,5−1=−0,5
Arvutame võrrandi parema poole.
pp=−1−32=−42=−0,5
Vasak ja parem pool on võrdsed, seega lahend sobib.
vp=pp
Võrrandi ainus lahend on
x=−1
Nimetajaga korrutades võib tekkida võõrlahend: saadud ruutvõrrandil on lahend x=3, aga algses võrrandis oleks siis nimetaja null. Seetõttu tuleb murdvõrrandi lahendeid alati kontrollida.