Kitsas riigieksam 2018, ülesanne 4: Bermuda kolmnurga pindala
Bermuda kolmnurk, Bermuda saarte, Florida lõunatipu ja Puerto Rico vaheline Atlandi ookeani osa, mis on saanud tuntuks rohkete selgitamata laeva- ja lennuõnnetuste tõttu (allikas: http://entsyklopeedia.ee/artikkel/bermuda_kolmnurk).
Bermuda kolmnurga tipud on Miami, San Juan ja Hamilton. Miami ja Hamiltoni vahemaa on 1676 km ning kolmnurga sisenurgad nende tippude juures on vastavalt 54,7° ja 59,4° (vt joonist). Arvutage Bermuda kolmnurga pindala täpsusega 1000 km².
Allikas: Matemaatika kitsas riigieksam 2018, ülesanne 4
Ülesande joonis
1676 km54,7∘59,4∘Miami (M)Hamilton (H)San Juan (J)
Valemikaart: siinusteoreem
sinαa=sinβb=sinγc
Valemikaart: kolmnurga pindala kahe külje ja nurga kaudu
S=21absinγ
γ on ku¨lgede a ja b vaheline nurk
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Kolmnurga pindala valemis S=21absinγ on vaja kahte külge. Teise külje leiad siinusteoreemist, kui oled enne leidnud kolmanda nurga.
1Samm 1Peidetud
1
Samm 1: Leia kolmas nurk
Tähistame tipud: Miami M, Hamilton H ja San Juan J. Teada on külg MH=1676 km ning nurgad ∠M=54,7∘ ja ∠H=59,4∘. Kolmnurga sisenurkade summa on 180∘.
Lahutame 180∘-st kaks teadaolevat nurka.
∠J=180∘−54,7∘−59,4∘=65,9∘
1676 km54,7∘59,4∘65,9∘Miami (M)Hamilton (H)San Juan (J)
Nurk J on teadaoleva külje MH vastas. Seda on vaja siinusteoreemis, sest siinusteoreem seob iga külje tema vastasnurgaga.
2Samm 2Peidetud
2
Samm 2: Leia külg MJ siinusteoreemist
Pindala arvutamiseks on vaja kahte külge ja nende vahelist nurka. Leiame külje MJ (Miami ja San Juani vahemaa), sest siis on nurk M=54,7∘ külgede MH ja MJ vahel.
Kirjutame siinusteoreemi: külg MJ on nurga H vastas ja külg MH nurga J vastas.
sin59,4∘MJ=sin65,9∘MH
Avaldame MJ ja asendame MH=1676 km.
MJ=sin65,9∘1676⋅sin59,4∘
Arvutame siinuste väärtused taskuarvutiga ja jagame.
MJ≈0,91281676⋅0,8607≈1580,4 km
1676 km≈1580,4 km54,7∘59,4∘65,9∘Miami (M)Hamilton (H)San Juan (J)
Siinusteoreem sinαa=sinβb kehtib iga kolmnurga korral. Vahetulemuse jätame ühe komakohaga, et lõppvastus ei läheks ümardamise tõttu valeks.
3Samm 3Peidetud
3
Samm 3: Arvuta pindala
Kirjutame kolmnurga pindala valemi kahe külje ja nendevahelise nurga kaudu.
S=21⋅MH⋅MJ⋅sin∠M
Asendame MH=1676 km, MJ≈1580,4 km ja ∠M=54,7∘.
S≈21⋅1676⋅1580,4⋅sin54,7∘≈1080872 km2
Ümardame täpsusega 1000 km².
S≈1081000 km2
1676 km≈1580,4 km54,7∘59,4∘65,9∘Miami (M)Hamilton (H)San Juan (J)S≈1081000 km2
Täpsusega 1000 km² ümardamisel vaatame sadade numbrit: 1080872 korral on see 8, seega ümardame tuhanded üles. Kui arvutada ümardamata küljega, tuleb S≈1080843 km², mis annab sama vastuse.
VASTUS
Bermuda kolmnurga pindala on täpsusega 1000 km² ligikaudu 1081000 km².