Kitsas riigieksam 2019, ülesanne 3: Lineaarvõrratus ja vähim täisarvuline lahend
Lahendage võrratus 45x−6−2x≤32.Leidke selle võrratuse kõige väiksem täisarvuline lahend.
Allikas: Matemaatika kitsas riigieksam 2019, ülesanne 3
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Korruta võrratus läbi nimetajate vähima ühiskordsega. Negatiivse arvuga jagades pöördub võrratuse märk.
1Samm 1Peidetud
1
Samm 1: Vabane murdudest
Nimetajad on 4 ja 3, nende vähim ühiskordne on 12. Korrutame võrratuse mõlemaid pooli arvuga 12.
Korrutame iga liiget arvuga 12. Positiivse arvuga korrutades võrratuse märk ei muutu.
12⋅45x−6−12⋅2x≤12⋅32
Taandame: 12:4=3 ja 12:3=4.
3(5x−6)−24x≤8
Korrutada tuleb kõiki liikmeid, ka liiget 2x, millel nimetajat pole. Parem pool on 12⋅32=4⋅2=8.
2Samm 2Peidetud
2
Samm 2: Ava sulud ja koonda
Avame sulud.
15x−18−24x≤8
Koondame x-iga liikmed: 15x−24x=−9x.
−9x−18≤8
Viime arvu −18 paremale poole, kus see muutub +18-ks.
−9x≤8+18⇒−9x≤26
3Samm 3Peidetud
3
Samm 3: Jaga x-i kordajaga
Jagame mõlemaid pooli arvuga −9. Negatiivse arvuga jagades pöördub võrratuse märk.
x≥−926⇒x≥−926
Kirjutame lahendihulga. Otspunkt kuulub lahendisse, sest võrratus ei ole range.
x∈[−926;∞)
x−926x≥−926−4−3−1012−2
−926=−298≈−2,89. Kui võrratuse mõlemad pooled jagada negatiivse arvuga, muutub märk vastupidiseks: ≤ muutub ≥-ks.
4Samm 4Peidetud
4
Samm 4: Leia vähim täisarvuline lahend
Otsime kõige väiksemat täisarvu, mis on suurem või võrdne kui −926≈−2,89.
Täisarv −3 on arvust −926 väiksem, seega see ei ole lahend.
−3<−926
Järgmine täisarv −2 on arvust −926 suurem, seega see on lahend.
−2>−926⇒xmin=−2
x−926x≥−926−4−3−1012−2
−3=−927, mis on väiksem kui −926. Kontrolliks võib asendada: kui x=−3, on vasak pool 4−21+6=0,75>32 (ei sobi), kui x=−2, on vasak pool 4−16+4=0≤32 (sobib).
VASTUS
Võrratuse lahend on x≥−926 ehk x∈[−926;∞). Võrratuse kõige väiksem täisarvuline lahend on −2.