Kitsas riigieksam 2019, ülesanne 8: Piljardikuuli põrge

Esimeses küsimuses tuleb leida lõigu $MC$ pikkus. Selleks on vaja täisnurkseid kolmnurki. Tõmbame punktist $K$ ristlõigu $KE$ küljele $BC$. Punkt $E$ on küljel $BC$ kõrgusel $45$ cm, sest $K$ on küljest $AB$ $45$ cm kaugusel.

Lõik $KE$ on paralleelne küljega $AB$. Lahutame laua pikkusest kuuli kauguse küljest $AD$.

Punkt $E$ on tipust $B$ sama kaugel kui kuul küljest $AB$.

Kolmnurk $KEP$ on täisnurkne, täisnurk on tipus $E$. Nurga $KPE = 75^\circ$ vastaskaatet on $KE = 209$ cm ja lähiskaatet $PE$.

Kirjutame tangensi definitsiooni.

Avaldame lähiskaateti ja asendame $KE = 209$ ning nurga $75^\circ$.

Külg $BC$ on $127$ cm. See koosneb lõikudest $BE$, $EP$ ja $PC$.

Lahutame külje $BC$ pikkusest lõigud $BE$ ja $EP$.

Kolmnurk $MCP$ on täisnurkne, sest ristküliku nurk $C$ on täisnurk. Nurga $MPC = 75^\circ$ lähiskaatet on $PC$ ja vastaskaatet $MC$.

Kirjutame tangensi definitsiooni.

Avaldame vastaskaateti ja asendame $PC \approx 26{,}00$.

Teises küsimuses on kuuli teekond murdjoon $KPM$, seega selle pikkus on $KP + PM$. Lõik $KP$ on täisnurkse kolmnurga $KEP$ hüpotenuus.

Kirjutame siinuse definitsiooni.

Avaldame hüpotenuusi ja asendame $KE = 209$.

Lõik $PM$ on täisnurkse kolmnurga $MCP$ hüpotenuus ja $PC$ on nurga $MPC$ lähiskaatet.

Kirjutame koosinuse definitsiooni.

Avaldame hüpotenuusi ja asendame $PC \approx 26{,}00$.

Liidame lõikude pikkused ja ümardame täpsusega $1$ cm.