Sõbrad Mart ja Robert osalesid kohaliku duatloni põhidistantsil, kus tuli läbida 6 km joostes, 24 km jalgrattaga sõites ja veel 3 km joostes.
1.Mart läbis esimese jooksuetapi poole tunniga. Tema keskmine kiirus teisel jooksuetapil oli 3 km/h võrra väiksem kui esimesel jooksuetapil. Mitu minutit kulus Mardil teise jooksuetapi läbimiseks?
2.Robert sõitis jalgrattaga ühes tunnis 2 km rohkem kui Mart ning läbis selle etapi 3 minutit kiiremini kui Mart. Arvutage Roberti keskmine kiirus jalgrattaetapil.
Allikas: Matemaatika kitsas riigieksam 2020, ülesanne 5
Valemikaart: liikumine
s=v⋅t
Valemikaart: ruutvõrrandi lahendivalem
ax2+bx+c=0
x1;2=2a−b±b2−4ac
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Kiirus on teepikkus jagatud ajaga. Teises küsimuses tähista Roberti kiirus x-iga, avalda mõlema poisi aeg jalgrattaetapil ja kasuta seda, et ajad erinevad 3 minuti ehk 201 tunni võrra.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Leia Mardi kiirus esimesel jooksuetapil
Esimeses küsimuses tuleb leida Mardi teise jooksuetapi aeg. Selleks on vaja teada kiirust teisel etapil, mis omakorda sõltub kiirusest esimesel etapil. Esimene jooksuetapp oli 6 km ja Mart läbis selle poole tunniga.
Kirjutame teepikkuse, kiiruse ja aja seose.
s=v⋅t
Avaldame kiiruse, jagades mõlemaid pooli ajaga t.
v=ts
Asendame s=6 km ja t=0,5 h.
v1=0,56=12 km/h
Pool tundi on 0,5 tundi. Kui kiirus on kilomeetrites tunnis, peab ka aeg olema tundides.
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 1Samm 2: Leia teise jooksuetapi aeg
Teisel jooksuetapil oli Mardi kiirus 3 km/h võrra väiksem ja etapi pikkus 3 km.
Arvutame kiiruse teisel jooksuetapil.
v2=12−3=9 km/h
Avaldame seosest s=v⋅t aja ja asendame s=3 km ning v=9 km/h.
t2=v2s=93=31 h
Teisendame tunnid minutiteks: tunnis on 60 minutit.
31⋅60=20 min
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 2Samm 3: Tähista kiirused ja avalda ajad
Teises küsimuses on jalgrattaetapi pikkus 24 km. Tähistame Roberti keskmise kiiruse x km/h. Robert sõitis tunnis 2 km rohkem kui Mart, seega Mardi kiirus oli x−2 km/h. Aeg on teepikkus jagatud kiirusega.
Ajad erinevad 3 minuti võrra. Teisendame selle tundideks.
3 min=603 h=201 h
Robert oli kiirem, seega kulus tal vähem aega. Mardi aeg miinus Roberti aeg on 3 minutit. Kiirus on km/h, seega peab ka ajavahe olema tundides.
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 2Samm 4: Koosta võrrand ja vabane murdudest
Mardi aeg miinus Roberti aeg on 201 tundi.
x−224−x24=201
Korrutame võrrandi mõlemaid pooli ühise nimetajaga 20x(x−2); siin x>2.
24⋅20x−24⋅20(x−2)=x(x−2)
Avame sulud.
480x−480x+960=x2−2x
Koondame ja viime kõik liikmed ühele poole.
x2−2x−960=0
Esimese murru nimetaja x−2 taandub ja alles jääb 20x; teise murru nimetaja x taandub ja alles jääb 20(x−2); paremal pool taandub 20 ja alles jääb x(x−2). Liikmed 480x ja −480x annavad kokku nulli.
5Samm 5Peidetud
5
Küsimus 2Samm 5: Lahenda ruutvõrrand
Kirjutame ruutvõrrandi lahendivalemi; siin a=1, b=−2 ja c=−960.
x1;2=2a−b±b2−4ac
Asendame kordajad ja arvutame diskriminandi.
x1;2=22±4+3840=22±3844=22±62
Arvutame mõlemad lahendid.
x1=22+62=32,x2=22−62=−30
Kiirus ei saa olla negatiivne, seega sobib ainult x=32.
x=32 km/h
b2−4ac=(−2)2−4⋅1⋅(−960)=4+3840=3844 ja 3844=62, sest 622=3844.
6Samm 6Peidetud
6
Küsimus 2Samm 6: Kontrolli tulemust
Mardi kiirus oli 32−2=30 km/h. Kontrollime, kas ajad erinevad tõesti 3 minuti võrra.
Arvutame Mardi aja jalgrattaetapil minutites.
tMart=3024 h=0,8⋅60 min=48 min
Arvutame Roberti aja jalgrattaetapil minutites.
tRobert=3224 h=0,75⋅60 min=45 min
Ajavahe on 3 minutit, nagu ülesandes öeldud.
48−45=3 min
VASTUS
1) Mardil kulus teise jooksuetapi läbimiseks 20 minutit. 2) Roberti keskmine kiirus jalgrattaetapil oli 32 km/h.