Kitsas riigieksam 2023, ülesanne 1: Kaks kiirtesti
SARS-CoV-2 antigeeni kiirtest näitab nakatumise korral positiivset tulemust tõenäosusega 0,98. Nakatunud inimene teeb kaks kiirtesti. Arvutage tõenäosus, et
1)mõlemad kiirtestid näitavad positiivset tulemust;
2)ainult üks kiirtestidest näitab positiivset tulemust.
Allikas: Matemaatika kitsas riigieksam 2023, ülesanne 1
Eksamil said tegijad selle ülesande eest keskmiselt 30% punktidest (Harno aruanne).
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Kaks testi on teineteisest sõltumatud. Kui mõlemad sündmused peavad toimuma, korruta tõenäosused. Mõtle, mitmel viisil saab ainult üks test olla positiivne.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Arvuta, et mõlemad testid on positiivsed
Esimeses küsimuses peab esimene test näitama positiivset tulemust ja teine test näitama positiivset tulemust. Eeldame, et kaks testi on teineteisest sõltumatud: ühe testi tulemus ei mõjuta teise testi tulemust.
Tähistame sündmuse „mõlemad testid on positiivsed“ tähega A. Sõltumatute sündmuste koos toimumise tõenäosus on nende tõenäosuste korrutis.
P(A)=0,98⋅0,98=0,9604
Kui kaks sündmust peavad toimuma mõlemad (sidesõna „ja“) ning need ei mõjuta teineteist, siis korrutatakse nende tõenäosused. See on tõenäosuste korrutamise lause.
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 2Samm 2: Leia vastandsündmuse tõenäosus
Teises küsimuses on vaja ka tõenäosust, et test ei näita positiivset tulemust. See on sündmuse „test on positiivne“ vastandsündmus.
Vastandsündmuse tõenäosus on 1 miinus sündmuse tõenäosus.
P(A1)=1−0,98=0,02
Test kas näitab positiivset tulemust või ei näita, kolmandat võimalust ei ole. Seepärast on nende kahe sündmuse tõenäosuste summa 1.
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 2Samm 3: Arvuta, et ainult üks test on positiivne
Ainult üks test on positiivne kahel viisil: esimene test on positiivne ja teine ei ole, või esimene test ei ole positiivne ja teine on. Need kaks juhtu ei saa toimuda korraga, seega on nad välistavad.
Arvutame esimese juhu tõenäosuse (esimene positiivne, teine mitte).
0,98⋅0,02=0,0196
Arvutame teise juhu tõenäosuse (esimene mitte, teine positiivne).
0,02⋅0,98=0,0196
Tähistame sündmuse „ainult üks test on positiivne“ tähega B. Välistavate juhtude tõenäosused liidame.
P(B)=0,0196+0,0196=0,0392
Kontroll: kahe testi korral on kolm võimalust: mõlemad positiivsed (0,9604), ainult üks positiivne või mõlemad mittepositiivsed (0,02⋅0,02=0,0004). Nende tõenäosuste summa on 1: 1−0,9604−0,0004=0,0392.
VASTUS
1) Tõenäosus, et mõlemad kiirtestid näitavad positiivset tulemust, on 0,9604. 2) Tõenäosus, et ainult üks kiirtestidest näitab positiivset tulemust, on 0,0392.