Kitsas riigieksam 2024, ülesanne 1: Ruutjuurtega murru lihtsustamine
Lihtsustage avaldis 4x2+2xx(x−2)+(x+1)2.
Allikas: Matemaatika kitsas riigieksam 2024, ülesanne 1
Eksamil said tegijad selle ülesande eest keskmiselt 47,2% punktidest (Harno aruanne).
Valemikaart: abivalemid
a2−b2=(a−b)(a+b)
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a−b)2=a2−2ab+b2
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Lihtsusta kõigepealt lugeja (ava sulud ja kasuta summa ruudu valemit). Seejärel too nimetajas ühine tegur sulgude ette.
1Samm 1Peidetud
1
Samm 1: Ava lugejas esimesed sulud
Alustame lugejast. Selle esimene liige on korrutis, kus sulgude ees on x.
Korrutame x sulgude mõlema liikmega.
x(x−2)=x⋅x−2x=x−2x
Ruutjuure definitsiooni järgi x⋅x=(x)2=x (kui x≥0).
2Samm 2Peidetud
2
Samm 2: Arvuta summa ruut
Kasutame summa ruudu valemit, kus esimene liige on x ja teine liige 1.
(x+1)2=(x)2+2⋅x⋅1+12=x+2x+1
Summa ruut (a+b)2=a2+2ab+b2, kus a=x ja b=1. Keskmine liige on kahekordne korrutis 2⋅x⋅1=2x.
3Samm 3Peidetud
3
Samm 3: Koonda lugeja liikmed
Liidame mõlemad osad.
x−2x+x+2x+1
Liikmed −2x ja 2x annavad kokku nulli, x+x=2x.
x−2x+x+2x+1=2x+1
Ruutjuured koonduvad lugejas täielikult ära: −2x+2x=0. Alles jääb lihtne hulkliige 2x+1.
4Samm 4Peidetud
4
Samm 4: Tegurda nimetaja
Nimetaja mõlemas liikmes on tegur 2x. Toome selle sulgude ette.
Jagame kumbagi liiget teguriga 2x: 4x2:2x=2x ja 2x:2x=1.
4x2+2x=2x(2x+1)
Kontrolliks võib sulud tagasi avada: 2x⋅2x+2x⋅1=4x2+2x. Nüüd on näha, et nimetajas on sama tegur 2x+1, mis lugejas.
5Samm 5Peidetud
5
Samm 5: Taanda murdu
Kirjutame murru lihtsustatud lugeja ja tegurdatud nimetajaga.
2x(2x+1)2x+1
Taandame murdu ühise teguriga 2x+1.
2x(2x+1)2x+1=2x1
Lugeja ja nimetaja jagatakse sama nullist erineva teguriga 2x+1. Avaldis on määratud, kui x>0 (ruutjuur nõuab x≥0 ja nimetaja ei tohi olla null), seega 2x+1>0 ja taandamine on lubatud.