Allikas: Matemaatika kitsas riigieksam 2024, ülesanne 3
Eksamil said tegijad selle ülesande eest keskmiselt 45% punktidest (Harno aruanne).
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Lahenda kumbki võrratus eraldi. Esimeses korruta läbi nimetajate ühiskordsega. Kui jagad negatiivse arvuga, pöördub võrratuse märk.
1Samm 1Peidetud
1
Samm 1: Vabane esimeses võrratuses murdudest
Alustame esimesest võrratusest. Selles on murrud nimetajatega 5 ja 7. Nende vähim ühiskordne on 35, seega korrutame võrratuse mõlemaid pooli arvuga 35.
Korrutame iga liikme arvuga 35. Lugejad jäävad sulgudesse.
35⋅5x−2−35⋅7x−4≤35⋅0
Taandame murrud: 35:5=7 ja 35:7=5.
7(x−2)−5(x−4)≤0
Positiivse arvuga korrutamisel võrratuse märk ei muutu. Murru lugeja on üks tervik, seepärast jääb see sulgudesse: 35⋅7x−4=5(x−4).
2Samm 2Peidetud
2
Samm 2: Lahenda esimene võrratus
Avame sulud. Miinus sulgude ees muudab mõlema liikme märgi.
7x−14−5x+20≤0
Koondame sarnased liikmed.
2x+6≤0
Viime arvu 6 paremale poole, muutes tema märgi.
2x≤−6
Jagame mõlemaid pooli arvuga 2. Arv on positiivne, seega märk jääb samaks.
x≤−3
L1−30
−5(x−4)=−5x+20, sest miinus korda miinus annab plussi. 7x−5x=2x ja −14+20=6.
3Samm 3Peidetud
3
Samm 3: Lahenda teine võrratus
Teises võrratuses avame kõigepealt sulud mõlemal pool.
Vasakul korrutame 4 sulgude liikmetega, paremal muudab −3 sulgude liikmete märgid.
20−4x>6x−3x+6
Koondame paremal pool.
20−4x>3x+6
x-iga liikmed viime vasakule ja arvud paremale poole, muutes nende märgi.
−4x−3x>6−20
Koondame mõlemal pool.
−7x>−14
Jagame mõlemaid pooli arvuga −7. Negatiivse arvuga jagades pöördub võrratuse märk.
x<−7−14
Arvutame jagatise.
x<2
L1−30L220
−3(x−2)=−3x+6. Kui jagada võrratuse mõlemaid pooli negatiivse arvuga, tuleb võrratuse märk pöörata: > muutub märgiks <.
4Samm 4Peidetud
4
Samm 4: Leia lahendite ühisosa
Süsteemi lahend on need arvud, mis rahuldavad mõlemat võrratust korraga.
Kirjutame mõlema võrratuse lahendid süsteemina.
{x≤−3x<2
Iga arv, mis on väiksem või võrdne kui −3, on ka väiksem kui 2. Arv −3 kuulub lahendisse.
x≤−3
L1−30L220L−320
Arvteljel on ühisosa koht, kus mõlemad lahendid kattuvad. Võrratus x≤−3 sisaldab ka arvu −3 (täidetud täpp, nurksulg). Lõpmatuse juures on alati ümarsulg.