Kitsas riigieksam 2025, ülesanne 5: Isa, ema ja lapse vanused
Isa ja lapse vanuste summa on praegu 41 aastat.Nelja aasta pärast on isa lapsest 6 korda vanem.
1.Kui vanad on isa ja laps praegu?
2.Kui vana on ema praegu, kui aasta tagasi oli ema, isa ja lapse vanuste summa 70 aastat?
3.Ema ja isa kohtusid esimest korda siis, kui nende vanuste summa oli 44 aastat. Mitu aastat tagasi see toimus?
Allikas: Matemaatika kitsas riigieksam 2025, ülesanne 5
Eksamil said tegijad selle ülesande eest keskmiselt 38,13% punktidest (Harno aruanne).
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Tähista isa ja lapse praegused vanused tähtedega. Nelja aasta pärast on mõlemad 4 aastat vanemad, aasta tagasi 1 aasta nooremad.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Koosta võrrandisüsteem
Esimeses küsimuses tuleb leida isa ja lapse praegune vanus. Tähistame isa praeguse vanuse x ja lapse praeguse vanuse y (aastates).
Vanuste summa on praegu 41 aastat.
x+y=41
Nelja aasta pärast on isa x+4 ja laps y+4 aastat vana ning isa on 6 korda vanem.
x+4=6(y+4)
Kirjutame võrrandid süsteemiks.
{x+y=41x+4=6(y+4)
„Isa on lapsest 6 korda vanem“ tähendab, et isa vanus võrdub lapse vanusega korrutatud 6-ga. Nelja aasta pärast on mõlemad 4 aastat vanemad, seega tuleb 4 liita mõlemale vanusele, ka lapse omale enne 6-ga korrutamist.
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 1Samm 2: Lahenda süsteem
Lahendame süsteemi asendusvõttega. Avaldame teisest võrrandist x.
Avame teises võrrandis sulud.
x+4=6y+24
Viime arvu 4 paremale poole.
x=6y+24−4=6y+20
Asendame selle esimesse võrrandisse x asemele.
6y+20+y=41
Koondame ja viime arvu 20 paremale poole.
7y=41−20=21
Jagame mõlemaid pooli arvuga 7.
y=3
Leiame isa vanuse avaldisest x=6y+20.
x=6⋅3+20=18+20=38
Kontrollime: 38+3=41. Nelja aasta pärast on isa 42 ja laps 7 aastat vana ning 42=6⋅7. Mõlemad tingimused on täidetud.
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 2Samm 3: Leia ema vanus
Teises küsimuses tuleb leida ema vanus. Tähistame ema praeguse vanuse z. Aasta tagasi oli igaüks 1 aasta noorem: isa 38−1, laps 3−1 ja ema z−1 aastat vana.
Aasta tagasi oli kolme vanuse summa 70 aastat.
(38−1)+(3−1)+(z−1)=70
Arvutame sulgudes olevad vanused.
37+2+z−1=70
Koondame arvud ja viime need paremale poole.
z+38=70⇒z=70−38=32
Sama tulemuse saab ka arutledes: aasta tagasi oli isa ja lapse vanuste summa 37+2=39 aastat, seega oli ema 70−39=31 aastat vana ja praegu on ta 32.
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 3Samm 4: Leia, mitu aastat tagasi ema ja isa kohtusid
Kolmandas küsimuses tähistame d-ga, mitu aastat tagasi ema ja isa kohtusid. Siis oli ema 32−d ja isa 38−d aastat vana.
Kohtumise ajal oli nende vanuste summa 44 aastat.
(32−d)+(38−d)=44
Koondame sarnased liikmed.
70−2d=44
Viime arvu 70 paremale poole ja jagame mõlemaid pooli arvuga −2.
−2d=44−70=−26⇒d=13
Iga aastaga kasvab kahe inimese vanuste summa 2 aasta võrra. Praegu on ema ja isa vanuste summa 32+38=70, mis on 70−44=26 aastat rohkem kui kohtumisel, seega möödus 26:2=13 aastat. Kohtudes oli ema 19 ja isa 25 aastat vana.
VASTUS
1) Isa on praegu 38 aastat ja laps 3 aastat vana. 2) Ema on praegu 32 aastat vana. 3) Ema ja isa kohtusid esimest korda 13 aastat tagasi.