Kitsas riigieksam 2025, ülesanne 9: Käsitööküünlad laadale
Kevin ja Robin oma meeskondadega kulutasid kindla arvu päevi selleks, et valmistada laadal müümiseks käsitööküünlaid. Kevini meeskond valmistas esimesel päeval 100 küünalt ja igal järgneval päeval 40 küünalt rohkem kui eelmisel.Robini meeskond valmistas igal päeval täpselt 160 küünalt.Viimasel päeval valmistasid kaks meeskonda kokku 500 küünalt.
1.Mitu päeva kulutasid meeskonnad küünalde valmistamiseks?
3.Kõik valmistatud küünlad pakendati suurtesse ja väikestesse kinkekarpidesse. Igasse suurde karpi pandi 20 küünalt ja väikesesse 15 küünalt. Suuri karpe kulus 28 võrra rohkem kui väikeseid. Mitmesse suurde ja mitmesse väikesesse kinkekarpi küünlad pakiti?
4.Meeskonnad annetasid heategevuseks kokku 595 eurot, mis moodustas kogu teenitud tulust 17,5%. Arvutage teenitud tulu suurus.
Allikas: Matemaatika kitsas riigieksam 2025, ülesanne 9
Eksamil said tegijad selle ülesande eest keskmiselt 48,83% punktidest (Harno aruanne).
Valemikaart: aritmeetiline jada
an=a1+(n−1)d
Sn=2(a1+an)⋅n
Valemikaart: protsent
p% arvust a=100p⋅a
ba⋅100%(mitu protsenti on a arvust b)
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Liida kahe meeskonna päevased küünlad kokku. Iga päev tuleb juurde 40 küünalt, seega moodustavad päevased kogused aritmeetilise jada.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Koosta päevaste koguste jada
Esimeses küsimuses tuleb leida päevade arv. Liidame mõlema meeskonna ühe päeva küünlad kokku.
Esimesel päeval valmistasid meeskonnad kokku
a1=100+160=260
Iga järgmine päev teeb Kevini meeskond 40 küünalt rohkem, Robini oma sama palju. Seega kasvab kogus iga päev 40 võrra.
260,300,340,…d=40
Jada, mille iga järgmine liige on eelmisest sama arvu võrra suurem, on aritmeetiline jada. Kevini kogused 100, 140, 180, … on aritmeetiline jada vahega 40 ja Robini kogus 160 on igal päeval sama, seega on ka summa aritmeetiline jada vahega 40.
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 1Samm 2: Leia päevade arv
Viimasel päeval valmistati kokku 500 küünalt. See on jada viimane liige an.
Kirjutame aritmeetilise jada üldliikme valemi.
an=a1+(n−1)d
Asendame an=500, a1=260 ja d=40.
500=260+40(n−1)
Viime arvu 260 vasakule poole.
40(n−1)=500−260=240
Jagame mõlemaid pooli arvuga 40 ja liidame 1.
n−1=6⇒n=7
Sama tulemuse saab ainult Kevini jadaga: viimasel päeval tegi Kevini meeskond 500−160=340 küünalt ja 100+40(n−1)=340 annab samuti n=7.
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 2Samm 3: Leia küünalde koguarv
Teises küsimuses tuleb leida, mitu küünalt tehti kokku. See on jada seitsme liikme summa.
Kirjutame aritmeetilise jada esimeste liikmete summa valemi.
Sn=2(a1+an)⋅n
Asendame a1=260, a7=500 ja n=7.
S7=2(260+500)⋅7=2760⋅7=380⋅7=2660
Kontrolliks võime päevad läbi liita: 260+300+340+380+420+460+500=2660. Kevini meeskond tegi neist 1540 ja Robini meeskond 7⋅160=1120.
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 3Samm 4: Koosta võrrand karpide jaoks
Kolmandas küsimuses pakitakse kõik 2660 küünalt karpidesse. Tähistame suurte karpide arvu x. Väikeseid karpe on 28 võrra vähem ehk x−28.
Suurtes karpides on 20x küünalt ja väikestes 15(x−28) küünalt. Kokku on neid 2660.
20x+15(x−28)=2660
Avame sulud.
20x+15x−420=2660
Koondame ja viime arvu 420 paremale poole.
35x=2660+420=3080
Jagame mõlemaid pooli arvuga 35.
x=353080=88
„Suuri karpe kulus 28 võrra rohkem kui väikeseid“ tähendab, et väikeseid karpe on 28 võrra vähem kui suuri: suuri x, väikeseid x−28.
5Samm 5Peidetud
5
Küsimus 3Samm 5: Leia väikeste karpide arv ja kontrolli
Väikeseid karpe on 28 võrra vähem.
88−28=60
Kontrollime, kas kõik küünlad said pakitud.
88⋅20+60⋅15=1760+900=2660
6Samm 6Peidetud
6
Küsimus 4Samm 6: Arvuta teenitud tulu
Neljandas küsimuses on teada osa (595 eurot) ja see, mitu protsenti see tervikust moodustab (17,5%). Tähistame tulu T.
17,5% tulust on 595 eurot.
10017,5⋅T=595
Jagame mõlemaid pooli arvuga 0,175.
T=0,175595=3400 €
Kui teame osa ja protsenti, saame terviku, kui jagame osa protsendile vastava kümnendmurruga: 17,5%=0,175. Kontroll: 0,175⋅3400=595.
VASTUS
1) Meeskonnad valmistasid küünlaid 7 päeva. 2) Kokku valmistati 2660 küünalt. 3) Küünlad pakiti 88 suurde ja 60 väikesesse kinkekarpi. 4) Teenitud tulu oli 3400 eurot.