Allikas: Matemaatika lai riigieksam 2015, ülesanne 9
Lahenduse joonis
Selle joonise teed lahendamise käigus ise.
−6−4−2246−14−12−10−8−6−4−220xy
Valemikaart: sirge võrrand
y=kx+b,k=tanα
y−y1=k(x−x1)
k=x2−x1y2−y1
paralleelsed: k1=k2,ristuvad: k1⋅k2=−1
Valemikaart: kahe punkti kaugus ja lõigu keskpunkt
d=(x2−x1)2+(y2−y1)2
M(2x1+x2;2y1+y2)
Valemikaart: täisnurkse kolmnurga seosed
sinα=ca,cosα=cb,tanα=ba
a on vastaskaatet,b la¨hiskaatet,c hu¨potenuus
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Risti sirgete tõusude korrutis on −1. Nurk B on täisnurk, seega nurga BAC leiad täisnurksest kolmnurgast. Parabooli võrrandis y=ax2+bx+c annab iga tipp ühe võrrandi.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Leia sirge AB tõus
Esimeses küsimuses tuleb leida nurk BAC. Selleks on vaja kõigepealt teada punkti C asukohta. Punkt C sõltub sirgest BC, mis on risti sirgega AB. Alustame sirge AB tõusust.
Kirjutame kahe punkti kaudu tõusu valemi.
k=x2−x1y2−y1
Asendame punktid A(−2;3) ja B(5;−4).
kAB=5−(−2)−4−3=7−7=−1
−6−4−2246−14−12−10−8−6−4−220xyA(−2;3)B(5;−4)
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 1Samm 2: Leia sirge BC võrrand ja punkt C
Risti sirgete tõusude korrutis on −1.
kAB⋅kBC=−1⇒−1⋅kBC=−1⇒kBC=1
Kirjutame sirge võrrandi, mis läbib punkti B(5;−4) ja mille tõus on 1.
y−(−4)=1⋅(x−5)
Avaldame y.
y=x−9
Punkt C asub y-teljel, seega selle abstsiss on 0. Asendame x=0.
75≈0,7143 ja tan−10,7143≈35,54∘. Sama tulemuse annab vektorite skalaarkorrutis: AB=(7;−7), AC=(2;−12) ja cos∠BAC=72⋅1487⋅2+(−7)⋅(−12)=747≈0,8137.
5Samm 5Peidetud
5
Küsimus 2Samm 5: Kirjuta võrrandisüsteem
Teises küsimuses on vaja parabooli y=ax2+bx+c, mis läbib punkte A, B ja C. Iga punkti koordinaadid peavad rahuldama parabooli võrrandit.
Asendame punkti C(0;−9).
−9=a⋅02+b⋅0+c⇒c=−9
Asendame punkti A(−2;3) ja c=−9.
3=4a−2b−9⇒4a−2b=12⇒2a−b=6
Asendame punkti B(5;−4) ja c=−9.
−4=25a+5b−9⇒25a+5b=5⇒5a+b=1
Punkt C on y-teljel, seega annab see kohe vabaliikme c. Teises võrrandis jagasime mõlemaid pooli arvuga 2 ja kolmandas arvuga 5.