Lai riigieksam 2017, ülesanne 2: Korrutisena antud eksponentvõrrand
Lahendage võrrand 2x⋅(2x+1−5⋅2x+96)=0.
Allikas: Matemaatika lai riigieksam 2017, ülesanne 2
Valemikaart: astmed ja juured
am⋅an=am+n,am:an=am−n
(am)n=amn,(ab)n=anbn
a0=1,a−n=an1
anm=nam
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Korrutis on null, kui üks teguritest on null. Kas 2x saab olla null? Sulgudes kirjuta 2x+1 kujul 2⋅2x.
1Samm 1Peidetud
1
Samm 1: Uuri kumbagi tegurit
Vasakul pool on kahe teguri korrutis. Korrutis on null parajasti siis, kui vähemalt üks teguritest on null.
Esimene tegur on astme 2x väärtus, mis on alati positiivne.
2x>0⇒2x=0
Seega peab null olema teine tegur ehk sulgudes olev avaldis.
2x+1−5⋅2x+96=0
Positiivse alusega aste on positiivne iga astendaja korral, seega võrrandil 2x=0 lahendeid ei ole. Võrrandi mõlemaid pooli võib jagada nullist erineva arvuga 2x.
2Samm 2Peidetud
2
Samm 2: Kirjuta astmed ühesuguse astmega
Kirjutame astme 2x+1 kahe astme korrutisena.
2x+1=2x⋅21=2⋅2x
Asendame selle võrrandisse.
2⋅2x−5⋅2x+96=0
Liidame sarnased liikmed: 2⋅2x−5⋅2x=−3⋅2x.
−3⋅2x+96=0
Viime arvu 96 paremale ja jagame mõlemaid pooli arvuga −3.
−3⋅2x=−96⇒2x=32
Valem am⋅an=am+n loetuna paremalt vasakule annab 2x+1=2x⋅2. Nüüd on kõigis liikmetes sama aste 2x ja neid saab koondada nagu tavalisi sarnaseid liikmeid.
3Samm 3Peidetud
3
Samm 3: Lahenda lihtne eksponentvõrrand
Kirjutame arvu 32 kahe astmena.
2x=25
Võrdsete alustega astmed on võrdsed, kui astendajad on võrdsed.
x=5
32=2⋅2⋅2⋅2⋅2=25. Funktsioon y=2x on kasvav, seega iga väärtust saavutab ta ainult ühe korra.
4Samm 4Peidetud
4
Samm 4: Kontrolli lahendit
Arvutame võrrandi vasaku poole, kui x=5.
vp=25⋅(26−5⋅25+96)=32⋅(64−160+96)=32⋅0=0
Parem pool on null.
pp=0
Vasak ja parem pool on võrdsed, seega lahend sobib.