Allikas: Matemaatika lai riigieksam 2018, ülesanne 2
Valemikaart: logaritmid
logab=c⟺ac=b,a>0,a=1,b>0
loga(xy)=logax+logay
logayx=logax−logay
logaxk=klogax
logax=logbalogbx,alogax=x
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Kirjuta log61 logaritmi log6 kaudu. Siis koonduvad võrrandi pooltel logaritmid ja jääb alles lihtne võrrand.
1Samm 1Peidetud
1
Samm 1: Leia määramispiirkond
Logaritmida saab ainult positiivset arvu. Seega peab avaldis 36−x3 olema positiivne.
Kirjutame tingimuse logaritmitava kohta.
36−x3>0
Viime x3 paremale poole.
x3<36
Võtame mõlemast poolest kuupjuure. Kuupjuur säilitab võrratuse märgi.
x<336
Määramispiirkonna kirjutame üles enne teisendamist, et lõpus oleks näha, kas leitud lahend sobib. Arvutada pole seda vaja: 336≈3,3. Teised logaritmid (log6 ja log61) on arvud, need on alati määratud.
2Samm 2Peidetud
2
Samm 2: Teisenda parem pool
Paremal pool on log61. Murru 61 saab kirjutada astmena 6−1.
Kasutame astme logaritmi valemit.
log61=log6−1=−log6
Kirjutame võrrandi uue parema poolega.
log(36−x3)−log6=2−log6
Valemikaardilt logaxk=klogax, kus k=−1. Sama tulemuse annab jagatise logaritm: log61=log1−log6=0−log6.
3Samm 3Peidetud
3
Samm 3: Koonda logaritmid
Võrrandi mõlemal poolel on liidetav −log6. Liidame mõlemale poolele log6.
Liidame võrrandi mõlemale poolele log6.
log(36−x3)=2
Logaritmi definitsiooni järgi on logaritmitav alus astmel 2. Alus on 10.
36−x3=102
Arvutame astme.
36−x3=100
log ilma aluseta tähendab kümnendlogaritmi (lg), seega alus on 10. Definitsioon: logab=c siis ja ainult siis, kui ac=b. Siin a=10, c=2 ja b=36−x3.
4Samm 4Peidetud
4
Samm 4: Lahenda võrrand
Viime arvu 36 paremale poole.
−x3=100−36=64
Korrutame mõlemaid pooli arvuga −1.
x3=−64
Võtame kuupjuure. Negatiivse arvu kuupjuur on negatiivne, sest (−4)3=−64.
x=3−64=−4
Kuupvõrrandil x3=a on alati täpselt üks reaalarvuline lahend. Erinevalt ruutjuurest saab kuupjuurt võtta ka negatiivsest arvust.
5Samm 5Peidetud
5
Samm 5: Kontrolli lahendit
Kontrollime, et x=−4 kuulub määramispiirkonda ja rahuldab algset võrrandit.
Arvutame logaritmitava väärtuse, kui x=−4. See on positiivne, seega −4 kuulub määramispiirkonda.
36−(−4)3=36+64=100>0
Arvutame võrrandi vasaku poole.
vp=log100−log6=2−log6
Arvutame võrrandi parema poole.
pp=2+log61=2−log6
Vasak ja parem pool on võrdsed, seega lahend sobib.