Proovi ise enne Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje 2. 1. samm 3. Kogu lahendus Vihje Kirjuta kõik astmed alusega 2 2 2 4 = 2 2 4 = 2^2 4 = 2 2 16 = 2 4 16 = 2^4 16 = 2 4 1 2 \frac{1}{2} 2 1
Näita vihjet Näita kogu lahendust 1 Samm 1: Kirjuta lugeja alusega 2 Lugejas on astmed alustega 2 2 2 4 4 4 4 = 2 2 4 = 2^2 4 = 2 2 2 2 2
Asendame 4 = 2 2 4 = 2^2 4 = 2 2
4 x − 0,5 = ( 2 2 ) x − 0,5 = 2 2 ( x − 0,5 ) = 2 2 x − 1 4^{x-0{,}5} \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{(2^2)^{x-0{,}5}} \mathrel{\htmlData{seg=2}{=}} \htmlData{seg=2}{2^{2(x-0{,}5)}} \mathrel{\htmlData{seg=3}{=}} \htmlData{seg=3}{\hl{2^{2x-1}}} 4 x − 0 , 5 = ( 2 2 ) x − 0 , 5 = 2 2 ( x − 0 , 5 ) = 2 2 x − 1 Samade alustega astmete korrutamisel astendajad liidetakse.
2 2 x + 1 ⋅ 2 2 x − 1 = 2 2 x + 1 + 2 x − 1 = 2 4 x 2^{2x+1} \cdot 2^{2x-1} \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{2^{2x+1+2x-1}} \mathrel{\htmlData{seg=2}{=}} \htmlData{seg=2}{\hl{\id{lug}{2^{4x}}}} 2 2 x + 1 ⋅ 2 2 x − 1 = 2 2 x + 1 + 2 x − 1 = 2 4 x Miks nii? Astme astendamisel astendajad korrutatakse: ( a m ) n = a m n (a^m)^n = a^{mn} ( a m ) n = a mn 2 ⋅ ( x − 0,5 ) = 2 x − 1 2 \cdot (x - 0{,}5) = 2x - 1 2 ⋅ ( x − 0 , 5 ) = 2 x − 1 ( 2 x + 1 ) + ( 2 x − 1 ) = 4 x (2x + 1) + (2x - 1) = 4x ( 2 x + 1 ) + ( 2 x − 1 ) = 4 x + 1 +1 + 1 − 1 -1 − 1 2 Samm 2: Kirjuta nimetaja alusega 2 Nimetajas on ruutjuur astmest 16 2 x 16^{2x} 1 6 2 x 1 2 \frac{1}{2} 2 1 16 = 2 4 16 = 2^4 16 = 2 4
Kirjutame ruutjuure astmena astendajaga 1 2 \frac{1}{2} 2 1
16 2 x = ( 16 2 x ) 1 2 = 16 x = ( 2 4 ) x = 2 4 x \sqrt{16^{2x}} \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{\left(16^{2x}\right)^{\frac{1}{2}}} \mathrel{\htmlData{seg=2}{=}} \htmlData{seg=2}{16^{x}} \mathrel{\htmlData{seg=3}{=}} \htmlData{seg=3}{(2^4)^x} \mathrel{\htmlData{seg=4}{=}} \htmlData{seg=4}{\hl{2^{4x}}} 1 6 2 x = ( 1 6 2 x ) 2 1 = 1 6 x = ( 2 4 ) x = 2 4 x Korrutame samade alustega astmed, astendajad liidetakse.
2 4 x ⋅ 2 − 3 = 2 4 x − 3 2^{4x} \cdot 2^{-3} = \hl{\id{nim}{2^{4x-3}}} 2 4 x ⋅ 2 − 3 = 2 4 x − 3 Miks nii? Valemikaardilt a m n = a m n a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} a n m = n a m a = a 1 2 \sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}} a = a 2 1 2 x ⋅ 1 2 = x 2x \cdot \frac{1}{2} = x 2 x ⋅ 2 1 = x 16 x = ( 2 4 ) x = 2 4 x 16^x = (2^4)^x = 2^{4x} 1 6 x = ( 2 4 ) x = 2 4 x 3 Samm 3: Jaga lugeja nimetajaga Nüüd on nii lugejas kui ka nimetajas üks aste alusega 2 2 2
Kirjutame murru uue lugeja ja nimetajaga.
2 4 x 2 4 x − 3 \frac{\id{lug}{2^{4x}}}{\id{nim}{2^{4x-3}}} 2 4 x − 3 2 4 x Samade alustega astmete jagamisel astendajad lahutatakse.
2 4 x 2 4 x − 3 = 2 4 x − ( 4 x − 3 ) = 2 4 x − 4 x + 3 = 2 3 = 8 \frac{2^{4x}}{2^{4x-3}} \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{2^{4x-(4x-3)}} \mathrel{\htmlData{seg=2}{=}} \htmlData{seg=2}{2^{4x-4x+3}} \mathrel{\htmlData{seg=3}{=}} \htmlData{seg=3}{2^3} \mathrel{\htmlData{seg=4}{=}} \htmlData{seg=4}{\hl{8}} 2 4 x − 3 2 4 x = 2 4 x − ( 4 x − 3 ) = 2 4 x − 4 x + 3 = 2 3 = 8 Miks nii? a m : a n = a m − n a^m : a^n = a^{m-n} a m : a n = a m − n 4 x − 3 4x - 3 4 x − 3 − ( 4 x − 3 ) = − 4 x + 3 -(4x - 3) = -4x + 3 − ( 4 x − 3 ) = − 4 x + 3 x x x x x x VASTUS Lihtsustatud avaldis on 8 8 8 x x x 8 8 8
Astme astendamisel korrutatakse alusega 2 2 2 x − 0,5 x - 0{,}5 x − 0 , 5
( 2 2 ) x − 0,5 = 2 2 x − 0,5 (2^2)^{x-0{,}5} = 2^{2x-0{,}5} ( 2 2 ) x − 0 , 5 = 2 2 x − 0 , 5 korrutatud ainult x
Nimetajas olev tegur 2 − 3 2^{-3} 2 − 3 2 − 3 = 1 8 2^{-3} = \frac{1}{8} 2 − 3 = 8 1 2 3 2^3 2 3
2 − 3 = − 8 2^{-3} = -8 2 − 3 = − 8 negatiivne astendaja
Ülesanne 2