Lai riigieksam 2019, ülesanne 7: Ristküliku pindala juurvõrrandiga

Tähistame ristküliku teise külje pikkuse $b$. Külg $AD$, külg $AB$ ja diagonaal $BD$ moodustavad täisnurkse kolmnurga $ABD$, kus diagonaal on hüpotenuus.

Kirjutame Pythagorase teoreemi kolmnurga $ABD$ kohta.

Asendame $AD = \sqrt{x + 1}$, $AB = b$ ja $BD = \sqrt{x + 50}$.

Ruutjuure ruut on juuritav: $\left(\sqrt{x + 1}\right)^2 = x + 1$.

Viime $x + 1$ paremale poole, $x$ koondub ära.

Külje pikkus on positiivne, seega võtame positiivse ruutjuure.

Ristküliku ümbermõõt on kahe lähiskülje summa kahekordne. Teame, et see on $x$.

Kirjutame ümbermõõdu valemi.

Asendame $a = \sqrt{x + 1}$, $b = 7$ ja $P = x$.

Avame sulud.

Jätame juure üksi ühele poole ja tõstame mõlemad pooled ruutu.

Viime arvu $14$ paremale poole.

Tõstame mõlemad pooled ruutu. Paremal kasutame vahe ruudu valemit.

Viime kõik liikmed paremale poole ja koondame.

Lahendame ruutvõrrandi, kus $a = 1$, $b = -32$ ja $c = 192$.

Arvutame mõlemad lahendid.

Asendame mõlemad lahendid võrrandisse $2\sqrt{x + 1} = x - 14$.

Võrrandi vasak pool, kui $x = 24$.

Võrrandi parem pool, kui $x = 24$.

Vasak ja parem pool on võrdsed, seega $x = 24$ sobib.

Võrrandi vasak pool, kui $x = 8$.

Võrrandi parem pool, kui $x = 8$.

Pooled ei ole võrdsed, seega $x = 8$ on võõrlahend.

Nüüd teame, et $x = 24$. Leiame esimese külje pikkuse ja ristküliku pindala.

Asendame $x = 24$ külje avaldisse.

Ristküliku pindala on lähiskülgede korrutis.