Lai riigieksam 2020, ülesanne 6: Murdvõrratusega võrratusesüsteem
Lahendage võrratuste süsteem ⎩⎨⎧x+34>3x4x−34≤43x
Allikas: Matemaatika lai riigieksam 2020, ülesanne 6
Valemikaart: ruutvõrrandi lahendivalem
ax2+bx+c=0
x1;2=2a−b±b2−4ac
Märgiskeem
Täitub sammus 3.
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Esimeses võrratuses ei tohi korrutada nimetajaga 3x, sest selle märki me ei tea. Vii kõik liikmed vasakule poole, ühisele nimetajale ja kasuta intervallmeetodit.
1Samm 1Peidetud
1
Samm 1: Vii esimese võrratuse liikmed ühele poole
Alustame esimesest võrratusest. Nimetajas on x, mille märki me ei tea, seega sellega korrutada ei tohi. Viime kõik liikmed vasakule poole ja ühisele nimetajale.
Viime parema poole liikme vasakule.
x+34−3x4>0
Korrutame mõlemaid pooli positiivse arvuga 3, võrratuse märk ei muutu.
3x+4−x4>0
Viime ühisele nimetajale x.
x3x2+4x−4>0
Kui korrutada võrratust negatiivse arvuga, muutub märk vastupidiseks. Arv 3 on positiivne, aga x võib olla ka negatiivne, seepärast jääb x nimetajasse. Lisaks peab kehtima x=0.
2Samm 2Peidetud
2
Samm 2: Leia lugeja nullkohad
Võrdsustame lugeja nulliga.
3x2+4x−4=0
Kasutame lahendivalemit, kus a=3, b=4 ja c=−4.
x1;2=6−4±16+48=6−4±8
Leiame mõlemad nullkohad.
x1=−2,x2=32
Kirjutame lugeja tegurite korrutisena.
3x2+4x−4=3(x+2)(x−32)=(x+2)(3x−2)
x1=6−4−8=−2 ja x2=6−4+8=64=32. Tegurdamisel kasutame valemit ax2+bx+c=a(x−x1)(x−x2).
3Samm 3Peidetud
3
Samm 3: Koosta märgiskeem
Võrratus on kujul x(x+2)(3x−2)>0. Märgid jagavad arvtelje kohad −2, 0 ja 32.
Proovime suurt arvu, näiteks x=1: kõik tegurid on positiivsed.
1(1+2)(3−2)=3>0
Iga lihtne nullkoht muudab märki, seega vasakule liikudes märgid vahelduvad.
xma¨rk(−∞;−2)−(−2;0)+(0;32)−(32;∞)+
Proovipunktid: x=−3 annab −3(−1)(−11)<0, x=−1 annab −11⋅(−5)>0, x=0,5 annab 0,52,5⋅(−0,5)<0. Punktid on lahtised, sest võrratus on range ja x=0 ei kuulu määramispiirkonda.
4Samm 4Peidetud
4
Samm 4: Kirjuta esimese võrratuse lahend
Valime vahemikud, kus avaldis on positiivne.
L1=(−2;0)∪(32;∞)
5Samm 5Peidetud
5
Samm 5: Lahenda teine võrratus
Korrutame mõlemaid pooli arvuga 12, et murdudest vabaneda.
12x−16≤9x
Viime x-iga liikmed vasakule ja arvud paremale poole.
3x≤16
Jagame mõlemaid pooli arvuga 3.
x≤316
Kirjutame lahendi vahemikuna.
L2=(−∞;316]
L1−2032L2316
12⋅34=16 ja 12⋅43x=9x. Korrutasime ja jagasime positiivse arvuga, seega märk ≤ jääb samaks. Võrratus pole range, seega 316=531 kuulub lahendisse.
6Samm 6Peidetud
6
Samm 6: Leia lahendite ühisosa
Süsteemi lahend on mõlema võrratuse lahendite ühisosa.
Kirjutame ühisosa.
L=L1∩L2=((−2;0)∪(32;∞))∩(−∞;316]
Vahemik (−2;0) jääb tervikuna alles, teine vahemik lõpeb kohal 316.
L=(−2;0)∪(32;316]
L1−2032L2316L−2032316
Kõik arvud vahemikus (−2;0) on väiksemad kui 316, seega see vahemik kuulub ühisossa tervikuna. Vahemikust (32;∞) jääb alles osa kuni 316 (kaasa arvatud).
VASTUS
Võrratuste süsteemi lahend on x∈(−2;0)∪(32;316].