Lai riigieksam 2020, ülesanne 8: Täisnurkne kolmnurk ja ring
Täisnurkse kolmnurga tipp C(5;4) asub ringjoonel, mille keskpunkt on A(1;1).Selle kolmnurga ühe teravnurga tipp asub ringjoone keskpunktis A ja teise teravnurga tipp B asub x-teljel.
1.Arvutage punkti B koordinaadid ja joonestage kolmnurk ABC.
2.Viirutage antud ringjoonega piiratud ringi ja kolmnurga ABC ühisosa ning arvutage selle ühisosa täpne pindala.
Allikas: Matemaatika lai riigieksam 2020, ülesanne 8
Lahenduse joonis
Selle joonise teed lahendamise käigus ise.
110xy
Valemikaart: vektorid
AB=(x2−x1;y2−y1)
∣a∣=ax2+ay2
a⋅b=axbx+ayby=∣a∣⋅∣b∣⋅cosφ
a⊥b⟺a⋅b=0
Valemikaart: kahe punkti kaugus ja lõigu keskpunkt
d=(x2−x1)2+(y2−y1)2
M(2x1+x2;2y1+y2)
Valemikaart: ringjoone võrrand
(x−a)2+(y−b)2=r2
(a;b) on keskpunkt,r raadius
Valemikaart: ringjoone kaar ja ringi sektor
l=rα,S=2r2α(α radiaanides)
l=180∘πrα,S=360∘πr2α(α kraadides)
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Täisnurk on tipus C, sest tippude A ja B juures on teravnurgad. Vektorid CA ja CB on siis risti. Ühisosa on ringi sektor; mõtle, milline on külje BC ja ringjoone vastastikune asend.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Määra täisnurga tipp
Esimeses küsimuses tuleb leida punkt B. Tippude A ja B juures on teravnurgad, seega on täisnurk tipus C. Punkt B on x-teljel, seega B(x;0).
Leiame vektori CA koordinaadid.
CA=(1−5;1−4)=(−4;−3)
Leiame vektori CB koordinaadid.
CB=(x−5;0−4)=(x−5;−4)
110xyA(1;1)C(5;4)
Vektori koordinaadid saame, kui lahutame lõpp-punkti koordinaatidest alguspunkti koordinaadid.
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 1Samm 2: Leia punkti B koordinaadid
Risti olevate vektorite skalaarkorrutis on null.
CA⋅CB=0
Korrutame vastavad koordinaadid ja liidame.
−4⋅(x−5)+(−3)⋅(−4)=0
Avame sulud.
−4x+20+12=0
Viime arvud paremale ja jagame arvuga −4.
−4x=−32⇒x=8
Kirjutame punkti koordinaadid.
B(8;0)
110xyA(1;1)C(5;4)B(8;0)
Joonestame kolmnurga: kanname teljestikku punktid A(1;1), B(8;0) ja C(5;4) ning ühendame need. Joonisel on näha täisnurk tipus C.
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 2Samm 3: Leia ringjoone raadius
Teises küsimuses on vaja ringjoont. Selle keskpunkt on A ja punkt C asub ringjoonel, seega raadius on AC.
Leiame kahe punkti kauguse.
r=AC=(5−1)2+(4−1)2=16+9=25=5
Kirjutame ringjoone võrrandi.
(x−1)2+(y−1)2=25
110xyr=5A(1;1)C(5;4)B(8;0)
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 2Samm 4: Uuri ühisosa kuju
Külg BC on risti raadiusega AC ja läbib ringjoone punkti C. Seega on BC ringjoone puutuja ning ring jääb tervikuna sirge BC sellele poolele, kus on A.
Leiame külje AB pikkuse.
AB=(8−1)2+(0−1)2=49+1=50=52
Võrdleme raadiusega: 52≈7,07>5, seega punkt B on ringist väljas.
AB>r
110xyr=5A(1;1)C(5;4)B(8;0)
Kolmnurga sees on ringist see osa, mis jääb nurga CAB haarade vahele. Kuna ringjoon ei lõika külge BC (ainult puudutab seda punktis C), on ühisosa ringi sektor keskpunktiga A, mille kaar on punktist C kuni küljeni AB.
5Samm 5Peidetud
5
Küsimus 2Samm 5: Leia nurk CAB
Leiame külje BC pikkuse.
BC=(8−5)2+(0−4)2=9+16=5
Kaatetid AC ja BC on võrdsed, seega kolmnurk on võrdhaarne täisnurkne kolmnurk.
∠CAB=2180∘−90∘=45∘
Sama tuleb koosinusest: cos∠CAB=ABAC=525=22, seega ∠CAB=45∘.
6Samm 6Peidetud
6
Küsimus 2Samm 6: Arvuta sektori pindala
Kirjutame sektori pindala valemi, kui nurk on kraadides.
S=360∘πr2α
Asendame r=5 ja α=45∘.
S=360∘π⋅52⋅45∘=25π⋅81=825π≈9,82
110xyr=545∘A(1;1)C(5;4)B(8;0)
360∘45∘=81, seega sektor on kaheksandik ringist pindalaga 25π. Ligikaudu on see 9,82 ruutühikut.
VASTUS
1) Punkti B koordinaadid on B(8;0). 2) Ringi ja kolmnurga ühisosa on sektor nurgaga 45∘ ja raadiusega 5, selle täpne pindala on 825π ruutühikut.