Lai riigieksam 2021, ülesanne 1: Juurfunktsiooni määramispiirkond
On antud funktsioon f(x)=x2−4x. Leidke
1)funktsiooni f(x) määramispiirkond;
2)muutuja x kolm väiksemat täisarvulist väärtust, mis kuuluvad funktsiooni f(x) määramispiirkonda.
Allikas: Matemaatika lai riigieksam 2021, ülesanne 1
Valemikaart: abivalemid
a2−b2=(a−b)(a+b)
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a−b)2=a2−2ab+b2
Arvtelg
Täitub sammus 3.
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Ruutjuure all olev avaldis ei tohi olla negatiivne ja murru nimetaja ei tohi olla null. Lahenda saadud murdvõrratus intervallmeetodiga.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Kirjuta määramispiirkonna tingimus
Esimeses küsimuses tuleb leida määramispiirkond ehk kõik x väärtused, mille korral saab f(x) välja arvutada. Ruutjuur on määratud ainult mittenegatiivsest arvust ja murru nimetaja ei tohi olla null.
Ruutjuure all olev murd peab olema suurem või võrdne nulliga.
x2−4x≥0
Murru nimetaja ei tohi olla null.
x2−4=0
Mõlemad tingimused peavad kehtima korraga. Teine tingimus tuleb võrratuse lahendamisel ise arvesse: kohal, kus nimetaja on null, ei ole murd üldse määratud, seega need punktid jäävad lahendist välja.
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 1Samm 2: Leia lugeja ja nimetaja nullkohad
Tegurdame nimetaja ruutude vahe valemiga, kus esimene liige on x ja teine liige 2.
x2−4x=(x−2)(x+2)x
Lugeja on null, kui x=0.
x=0
Nimetaja on null, kui üks teguritest on null.
x−2=0⇒x=2,x+2=0⇒x=−2
Kirjutame kõik kolm punkti kasvavas järjekorras.
−2,0,2
Murru märk saab muutuda ainult nendes punktides, kus lugeja või nimetaja on null. Arv 0 kuulub lahendisse, sest seal on murd null ja võrratus lubab võrdust. Arvud −2 ja 2 ei kuulu, sest seal on nimetaja null.
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 1Samm 3: Koosta märgiskeem
Kanname punktid −2, 0 ja 2 arvteljele. Punkt 0 on kinnine (kuulub lahendisse), punktid −2 ja 2 on lahtised.
Leiame murru märgi kõige parempoolsemas vahemikus, näiteks kohal x=3.
(3−2)(3+2)3=1⋅53=53>0
Iga punkti läbimisel märk vahetub. Kirjutame märgid vasakult paremale.
xma¨rk(−∞;−2)−(−2;0)+(0;2)−(2;∞)+
Kõik tegurid x, x−2 ja x+2 on esimeses astmes ja igaüks muudab oma nullkohas märki. Seepärast vahetub murru märk igas punktis. Kontrolliks: kohal x=−1 on murd −3−1=31>0.
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 1Samm 4: Kirjuta määramispiirkond
Valime vahemikud, kus murd on positiivne, ja lisame punkti 0, kus murd on null.
−2<x≤0vo˜ix>2
Kirjutame määramispiirkonna vahemike ühendina.
X=(−2;0]∪(2;∞)
Nurksulg ] näitab, et 0 kuulub määramispiirkonda: f(0)=0=0. Ümarsulud punktide −2 ja 2 juures näitavad, et need ei kuulu, sest seal tuleks jagada nulliga.
5Samm 5Peidetud
5
Küsimus 2Samm 5: Leia kolm väikseimat täisarvu
Teises küsimuses tuleb leida kolm väikseimat täisarvu, mis kuuluvad määramispiirkonda. Vaatame vahemikke vasakult paremale.
Vahemikus (−2;0] on täisarvud −1 ja 0. Arv −2 sinna ei kuulu.
(−2;0]:−1,0
Vahemikus (2;∞) on väikseim täisarv 3. Arvud 1 ja 2 määramispiirkonda ei kuulu.
(2;∞):3,4,5,…
Kirjutame kolm väikseimat täisarvu.
−1,0,3
Määramispiirkonnast vasakul, kus x≤−2, ei ole ühtegi sobivat arvu, seega väikseim täisarv on −1. Arvud 1 ja 2 jäävad vahele: kohal x=1 on murd −31<0 ja kohal x=2 ei ole murd määratud.
VASTUS
1) Funktsiooni f(x) määramispiirkond on X=(−2;0]∪(2;∞). 2) Kolm väikseimat täisarvu, mis kuuluvad määramispiirkonda, on −1, 0 ja 3.