Lai riigieksam 2021, ülesanne 4: Juuri sisaldava avaldise lihtsustamine
Lihtsustage avaldis (x−yy−x+2x)−1:(x+y).
Allikas: Matemaatika lai riigieksam 2021, ülesanne 4
Valemikaart: abivalemid
a2−b2=(a−b)(a+b)
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a−b)2=a2−2ab+b2
Valemikaart: astmed ja juured
am⋅an=am+n,am:an=am−n
(am)n=amn,(ab)n=anbn
a0=1,a−n=an1
anm=nam
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Lugeja y−x on ruutude vahe, sest x=(x)2 ja y=(y)2. Pärast tegurdamist saab murdu taandada.
1Samm 1Peidetud
1
Samm 1: Tegurda murru lugeja
Alustame sulgudes olevast murrust. Arvud x ja y on ruutjuurte ruudud: x=(x)2 ja y=(y)2. Seega on lugeja ruutude vahe.
Kirjutame lugeja ruutude vahena.
y−x=(y)2−(x)2
Kasutame ruutude vahe valemit, kus esimene liige on y ja teine liige x.
(y)2−(x)2=(y−x)(y+x)
Toome esimesest sulust miinuse ette, et tekiks sama vahe x−y nagu nimetajas.
(y−x)(y+x)=−(x−y)(x+y)
y−x=−(x−y), sest miinuse ette toomisel muutuvad sulu liikmete märgid. Summas võib liidetavate järjekorda vahetada: y+x=x+y.
2Samm 2Peidetud
2
Samm 2: Taanda murd
Asendame lugeja tegurdatud kujuga.
x−yy−x=x−y−(x−y)(x+y)
Taandame murdu teguriga x−y.
x−y−(x−y)(x+y)=−(x+y)=−x−y
Taandada tohib, sest nimetaja x−y ei ole null (muidu poleks murd määratud).
3Samm 3Peidetud
3
Samm 3: Lihtsusta sulgude sisu
Liidame murrule 2x.
−x−y+2x=x−y
Sarnased liikmed on −x ja 2x, nende summa on x.
4Samm 4Peidetud
4
Samm 4: Võta aste −1
Negatiivse astendajaga aste on pöördarv.
(x−y)−1=x−y1
Astmete valem a−n=an1, kus n=1.
5Samm 5Peidetud
5
Samm 5: Jaga summaga
Jagamine avaldisega x+y tähendab, et see läheb nimetajasse.
x−y1:(x+y)=(x−y)(x+y)1
Nimetajas on summa ja vahe korrutis, mis on ruutude vahe.
(x−y)(x+y)1=(x)2−(y)21=x−y1
Avaldis on määratud, kui x≥0, y≥0 (ruutjuured) ja x=y (nimetaja x−y ei ole null). Nende väärtuste korral on algne ja lihtsustatud avaldis võrdsed. Kontroll: kui x=4 ja y=1, siis algne avaldis on (1−3+4)−1:3=31 ja 4−11=31.