Allikas: Matemaatika lai riigieksam 2022, ülesanne 4
Eksamil said tegijad selle ülesande eest keskmiselt 66,8% punktidest (Harno aruanne).
Valemikaart: abivalemid
a2−b2=(a−b)(a+b)
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a−b)2=a2−2ab+b2
Valemikaart: ruutvõrrandi lahendivalem
ax2+bx+c=0
x1;2=2a−b±b2−4ac
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Juurest vabanemiseks tõsta võrrandi mõlemad pooled ruutu. Pärast seda kontrolli kindlasti iga saadud lahendit esialgses võrrandis.
1Samm 1Peidetud
1
Samm 1: Tõsta võrrandi mõlemad pooled ruutu
Juurest vabanemiseks tõstame võrrandi mõlemad pooled ruutu.
(2x−4)2=(x2−x+4)2
Vasakul kasutame vahe ruudu valemit, kus esimene liige on 2x ja teine liige 4.
(2x−4)2=(2x)2−2⋅2x⋅4+42=4x2−16x+16
Paremal pool ruut ja ruutjuur tühistavad teineteist. Kirjutame uue võrrandi.
4x2−16x+16=x2−x+4
Ruutu tõstmine ei ole samaväärne teisendus: uuel võrrandil võib olla lahendeid, mis esialgset võrrandit ei rahulda (näiteks kui vasak pool on negatiivne). Seepärast tuleb lõpus kõik lahendid esialgses võrrandis üle kontrollida.
2Samm 2Peidetud
2
Samm 2: Vii võrrand normaalkujule
Viime kõik liikmed vasakule poole. Paremalt üle tuues muutuvad märgid vastupidiseks.
4x2−16x+16−x2+x−4=0
Koondame sarnased liikmed.
3x2−15x+12=0
Kõik kordajad jaguvad kolmega. Jagame võrrandi mõlemaid pooli arvuga 3.
x2−5x+4=0
Koondamisel: 4x2−x2=3x2, −16x+x=−15x ja 16−4=12. Kolmega jagamine teeb arvutamise lihtsamaks ega muuda lahendeid.
3Samm 3Peidetud
3
Samm 3: Lahenda ruutvõrrand
Kasutame lahendivalemit, kus a=1, b=−5 ja c=4.
x1;2=2⋅15±(−5)2−4⋅1⋅4=25±9=25±3
Miinusmärgiga saame esimese lahendi.
x1=25−3=1
Plussmärgiga saame teise lahendi.
x2=25+3=4
Diskriminant on 25−16=9 ja 9=3. Lahendid saab leida ka Viète'i teoreemiga: kahe arvu summa on 5 ja korrutis 4, need on 1 ja 4.
4Samm 4Peidetud
4
Samm 4: Kontrolli lahendit x = 1
Asendame x=1 esialgsesse võrrandisse.
Arvutame võrrandi vasaku poole, kui x=1.
vp=2⋅1−4=−2
Arvutame võrrandi parema poole, kui x=1.
pp=12−1+4=4=2
Vasak ja parem pool ei ole võrdsed, seega x=1 on võõrlahend.
vp=pp
Ruutjuure väärtus ei ole kunagi negatiivne, aga vasak pool on −2. Ruutu tõstes kadus märgi erinevus: (−2)2=22. Nii tekkis võõrlahend.
5Samm 5Peidetud
5
Samm 5: Kontrolli lahendit x = 4
Asendame x=4 esialgsesse võrrandisse.
Arvutame võrrandi vasaku poole, kui x=4.
vp=2⋅4−4=4
Arvutame võrrandi parema poole, kui x=4.
pp=42−4+4=16=4
Vasak ja parem pool on võrdsed, seega x=4 on võrrandi lahend.
vp=pp
Võrrandil on üks lahend.
x=4
Võõrlahendi saab ära tunda ka ilma asendamata: ruutjuur on alati mittenegatiivne, seega peab vasak pool rahuldama tingimust 2x−4≥0 ehk x≥2. Lahend 1 seda ei rahulda, lahend 4 rahuldab.