Lai riigieksam 2022, ülesanne 3: Kuulid kahest urnist
Ühes urnis on 2 valget, 3 punast ja 5 sinist kuuli ning teises urnis on 4 valget ja 8 sinist kuuli. Kummastki urnist võetakse juhuslikult üks kuul.
Kui suur on tõenäosus, et
1)võetud kaks kuuli on punast värvi;
2)võetud kaks kuuli on sinist värvi;
3)võetud kuulidest on üks valge ja üks sinine?
Allikas: Matemaatika lai riigieksam 2022, ülesanne 3
Eksamil said tegijad selle ülesande eest keskmiselt 64,6% punktidest (Harno aruanne).
Valemikaart: tõenäosus
P=nk
k on soodsate,n ko˜igi vo˜imaluste arv
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Kuulid võetakse eri urnidest, seega ei sõltu teise kuuli värv esimesest. Kontrolli, kas teises urnis üldse on punaseid kuule.
1Samm 1Peidetud
1
Samm 1: Loe kuulid kokku
Kõigepealt leiame, mitu kuuli on kummaski urnis.
Esimeses urnis on valged, punased ja sinised kuulid.
n1=2+3+5=10
Teises urnis on ainult valged ja sinised kuulid.
n2=4+8=12
Kuul võetakse juhuslikult, seega on igas urnis iga kuul võrdvõimalik. Tõenäosus on soodsate kuulide arv jagatud kõigi kuulide arvuga selles urnis.
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 1Samm 2: Leia tõenäosus, et mõlemad kuulid on punased
Esimeses küsimuses on vaja, et mõlemad kuulid oleksid punased. Teises urnis punaseid kuule ei ole.
Tõenäosus võtta teisest urnist punane kuul on null, sest punaseid kuule seal ei ole.
P(II urnist punane)=120=0
Mõlemad kuulid peavad olema punased, seega korrutame tõenäosused.
P1=103⋅0=0
Kaks punast kuuli ei saa tulla, sest teises urnis punaseid kuule ei ole. Sellist sündmust nimetatakse võimatuks sündmuseks ja selle tõenäosus on 0.
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 2Samm 3: Leia tõenäosus, et mõlemad kuulid on sinised
Teises küsimuses peavad mõlemad kuulid olema sinised. Leiame kummagi urni jaoks sinise kuuli tõenäosuse.
Esimeses urnis on 10 kuulist 5 sinised.
P(I urnist sinine)=105=21
Teises urnis on 12 kuulist 8 sinised.
P(II urnist sinine)=128=32
Kuulide värvid ei sõltu teineteisest, seega korrutame tõenäosused.
P2=21⋅32=31
Sõltumatute sündmuste korral on tõenäosus, et toimuvad mõlemad, võrdne nende tõenäosuste korrutisega. Sama tuleb ka klassikalise tõenäosuse valemiga: kuulipaare on kokku 10⋅12=120 ja kahe sinise kuuli paare 5⋅8=40, seega P2=12040=31.
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 3Samm 4: Leia esimese juhu tõenäosus
Kolmandas küsimuses peab üks kuul olema valge ja teine sinine. See võib juhtuda kahel viisil. Esimene juht: esimesest urnist tuleb valge ja teisest sinine kuul.
Esimesest urnist valge tõenäosus on 102 ja teisest urnist sinise tõenäosus 128. Korrutame need.
p1=102⋅128=12016=152
Taandasime murru 12016 arvuga 8.
5Samm 5Peidetud
5
Küsimus 3Samm 5: Leia teise juhu tõenäosus
Teine juht: esimesest urnist tuleb sinine ja teisest valge kuul.
Esimesest urnist sinise tõenäosus on 105 ja teisest urnist valge tõenäosus 124. Korrutame need.
p2=105⋅124=12020=61
Taandasime murru 12020 arvuga 20.
6Samm 6Peidetud
6
Küsimus 3Samm 6: Liida juhtude tõenäosused
Need kaks juhtu ei saa toimuda korraga, seega liidame nende tõenäosused.
Viime murrud ühisele nimetajale 30 ja liidame.
P3=152+61=304+305=309=103
Välistavate sündmuste korral on tõenäosus, et toimub üks neist, võrdne tõenäosuste summaga. Loendades: soodsaid paare on 2⋅8+5⋅4=16+20=36, seega P3=12036=103.
VASTUS
1) Tõenäosus, et mõlemad kuulid on punased, on 0. 2) Tõenäosus, et mõlemad kuulid on sinised, on 31. 3) Tõenäosus, et üks kuul on valge ja teine sinine, on 103.