2.Kas selle avaldise väärtus saab olla 1? Põhjendage vastust.
Allikas: Matemaatika lai riigieksam 2022, ülesanne 2
Eksamil said tegijad selle ülesande eest keskmiselt 62,8% punktidest (Harno aruanne).
Valemikaart: abivalemid
a2−b2=(a−b)(a+b)
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a−b)2=a2−2ab+b2
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Kirjuta x kujul (x)2. Siis saab esimese murru lugejas tuua sulgude ette ühise teguri ja teise murru lugejat tegurdada ruutude vahe valemiga.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Leia lubatud väärtused
Esimeses küsimuses tuleb avaldis lihtsustada. Enne vaatame, milliste x-i väärtuste korral avaldis on määratud.
Ruutjuur on määratud, kui x≥0, ja nimetaja 12x ei tohi olla null.
x≥0 ja x=0⇒x>0
Nulliga jagada ei tohi, seega jagaja lugeja 9−x ei tohi olla null.
9−x=0⇒x=9
Kokku saame lubatud väärtused.
x>0,x=9
Jagaja on murd (3+x)2−(3−x)29−x. Murruga jagada saab ainult siis, kui see murd ei ole null, seega 9−x=0. Teise murru nimetaja on (nagu sammus 3 selgub) 12x, mis ei ole null, kui x>0. Nendel tingimustel võime hiljem murde taandada.
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 1Samm 2: Too esimese murru lugejas tegur sulgude ette
Kirjutame x kahe ruutjuure korrutisena, sest x⋅x=x.
3x−x=3x−x⋅x
Mõlemas liikmes on tegur x. Toome selle sulgude ette.
3x−x⋅x=x(3−x)
Kui x>0, siis x=(x)2=x⋅x. Nüüd on näha, et mõlemas liikmes on tegur x. Sulgude ette toomisel jagame iga liikme selle teguriga: 3x:x=3 ja x⋅x:x=x.
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 1Samm 3: Lihtsusta teise murru nimetaja
Avame summa ruudu ja vahe ruudu. Arvestame, et (x)2=x. Teise ruudu ees on miinus, seega jääb selle tulemus sulgudesse.
(3+x)2−(3−x)2=(9+6x+x)−(9−6x+x)
Avame sulud. Miinus sulgude ees muudab sulgudes kõigi liikmete märgid vastupidiseks.
(9+6x+x)−(9−6x+x)=9+6x+x−9+6x−x
Koondame: 9 ja −9 ning x ja −x annavad kokku nulli.
9+6x+x−9+6x−x=12x
Summa ruudu valemi järgi (3+x)2=32+2⋅3⋅x+(x)2=9+6x+x ja vahe ruudu valemi järgi (3−x)2=9−6x+x. Kiirem tee on ruutude vahe valem a2−b2=(a−b)(a+b): (3+x−(3−x))(3+x+3−x)=2x⋅6=12x.
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 1Samm 4: Tegurda teise murru lugeja
Kirjutame mõlemad liikmed ruutudena: 9=32 ja x=(x)2.
9−x=32−(x)2
Kasutame ruutude vahe valemit, kus esimene liige on 3 ja teine liige x.
32−(x)2=(3−x)(3+x)
Ruutude vahe valem a2−b2=(a−b)(a+b) kehtib ka siis, kui b on ruutjuur. Tegurdamine on kasulik, sest nüüd tekivad tegurid 3−x ja 3+x, mis on ka teistes murdudes.
5Samm 5Peidetud
5
Küsimus 1Samm 5: Asenda leitud kujud ja korruta pöördmurruga
Asendame avaldisse leitud kujud.
12xx(3−x):12x(3−x)(3+x)
Murruga jagamise asemel korrutame jagaja pöördmurruga.
12xx(3−x)⋅(3−x)(3+x)12x
Murruga jagamine on sama mis korrutamine pöördmurruga: ba:dc=ba⋅cd. Pöördmurrus vahetavad lugeja ja nimetaja kohad.
6Samm 6Peidetud
6
Küsimus 1Samm 6: Korruta ja taanda
Korrutame lugejad omavahel ja nimetajad omavahel. Lugejas on x⋅x=x.
Taandame lugeja ja nimetaja ühise teguri 12x(3−x) võrra.
12x(3−x)(3+x)12x(3−x)=3+x1
Taandada tohib, sest lubatud väärtuste korral ei ole ükski taandatav tegur null: 12x=0, kuna x>0, ja 3−x=0, kuna x=9. Kui lugejas kõik tegurid ära taanduvad, jääb sinna 1.
7Samm 7Peidetud
7
Küsimus 2Samm 7: Uuri, kas avaldise väärtus saab olla 1
Teises küsimuses tuleb otsustada, kas avaldise väärtus saab olla 1. Võrdsustame lihtsustatud avaldise arvuga 1.
Kirjutame võrrandi.
3+x1=1
Murd võrdub ühega siis, kui lugeja ja nimetaja on võrdsed.
3+x=1
Viime arvu 3 paremale poole.
x=−2
Ruutjuure väärtus ei ole kunagi negatiivne, seega sellel võrrandil lahendit ei ole.
x≥0
Ruutjuur x on mittenegatiivne arv, seega ei saa see olla −2. Teine põhjendus: nimetaja 3+x on alati vähemalt 3, seega on murd 3+x1 alati ülimalt 31 ja ei saa olla 1.
VASTUS
1) Lihtsustatud avaldis on 3+x1. 2) Avaldise väärtus ei saa olla 1, sest siis peaks kehtima x=−2, aga ruutjuur ei saa olla negatiivne.