Lai riigieksam 2022, ülesanne 6: Trigonomeetriline avaldis, graafik ja võrrand

Esimeses küsimuses tuleb avaldis lihtsustada. Alustame lugeja esimesest liikmest, kuhu asendame $\beta = 90^\circ$.

Kirjutame summa siinuse valemi.

Asendame $\beta = 90^\circ$. Teame, et $\cos 90^\circ = 0$ ja $\sin 90^\circ = 1$.

Asendame lugejasse leitud väärtuse.

Toome ühise teguri $\cos\alpha$ sulgude ette.

Põhiseosest $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ saame $1 - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha$.

Kasutame kahekordse nurga siinuse valemit.

Kirjutame murru uue lugeja ja nimetajaga.

Taandame teguritega $\cos\alpha$ ja $\sin\alpha$.

Teises küsimuses tuleb joonestada funktsiooni $f(x) = \frac{\sin x}{2}$ graafik lõigul $[0;\,3\pi]$. Graafik on siinusoid, mille väärtused on kaks korda väiksemad kui $\sin x$ väärtused. Arvutame väärtused iga veerandperioodi järel.

Kirjutame tabelisse $x$-i väärtused, $\sin x$ ja $f(x) = \frac{\sin x}{2}$.

Ühendame tabeli punktid sujuva lainekujulise joonega lõigul $[0;\,3\pi]$.

Funktsiooni suurim väärtus on 0,5 ja vähim väärtus −0,5.

Nüüd lahendame võrrandi $f(x) = \frac{1}{4}$.

Kirjutame võrrandi.

Korrutame võrrandi mõlemaid pooli kahega.

Siinus on $\frac{1}{2}$ nurga $\frac{\pi}{6}$ korral. Teine nurk, millel on sama siinus, on $\pi - \frac{\pi}{6}$.

Siinuse periood on $2\pi$. Liidame leitud lahenditele $2\pi$ ja vaatame, kas tulemus jääb veel lõigule $[0;\,3\pi]$.

Liidame esimesele lahendile $2\pi$.

Liidame teisele lahendile $2\pi$.

Mõlemad on väiksemad kui $3\pi = \frac{18\pi}{6}$. Järgmine lahend $\frac{\pi}{6} + 4\pi = \frac{25\pi}{6}$ on juba suurem kui $3\pi$.