Lai riigieksam 2022, ülesanne 7: Väikeettevõtja tasu
Väikeettevõtjaga sõlmiti kokkulepe vähemalt 160 toote valmistamiseks ning fikseeriti ühe valmistatud toote eest makstav algne hind. Lisaks lepiti kokku tasustamisviis juhuks, kui ettevõtjal õnnestub sama aja jooksul valmistada rohkem tooteid. Sellisel juhul makstakse talle 161. toote eest 8 eurot ja 50 senti ning seejärel iga järgmise toote eest 50 senti rohkem kui eelmise eest. Valmistades 180 toodet, teeniks ettevõtja 1385 eurot.
1.Leidke ühe toote algne hind.
2.Kui palju makstakse ettevõtjale toodangu eest kokku juhul, kui viimase toote hind on 4 korda algsest hinnast suurem?
Allikas: Matemaatika lai riigieksam 2022, ülesanne 7
Eksamil said tegijad selle ülesande eest keskmiselt 44,1% punktidest (Harno aruanne).
Valemikaart: aritmeetiline jada
an=a1+(n−1)d
Sn=2(a1+an)⋅n
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Lisatoodete hinnad 8,50 €, 9,00 €, 9,50 €, … moodustavad aritmeetilise jada. Arvuta, kui palju makstakse 161. kuni 180. toote eest, ja lahuta see kogusummast.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Kirjelda lisatoodete hindu aritmeetilise jadana
Esimeses küsimuses tuleb leida ühe toote algne hind. Selleks vaatame kõigepealt toote 161 ja järgmiste toodete hindu.
Toote 161 hind on jada esimene liige ja iga järgmine hind on 50 senti suurem.
a1=8,5,a2=9,a3=9,5,…
Jada vahe on 50 senti ehk 0,5 eurot.
d=0,5
Tooteid 161 kuni 180 on 20.
n=180−160=20
Kui iga järgmine liige on eelmisest sama palju suurem, on tegemist aritmeetilise jadaga. Jada esimene liige on toote 161 hind 8,5 eurot (mitte esimese toote hind). Toote 180 hind on selle jada 20. liige.
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 1Samm 2: Leia toote 180 hind
Kirjutame aritmeetilise jada üldliikme valemi.
an=a1+(n−1)d
Asendame a1=8,5, n=20 ja d=0,5.
a20=8,5+19⋅0,5=8,5+9,5=18
Toote 180 eest makstakse 18 eurot. Seda on vaja summa valemi jaoks.
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 1Samm 3: Arvuta lisatoodete eest makstav summa
Kirjutame aritmeetilise jada esimese n liikme summa valemi.
Sn=2(a1+an)⋅n
Asendame a1=8,5, a20=18 ja n=20.
S20=2(8,5+18)⋅20=26,5⋅10=265
Toodete 161 kuni 180 eest makstakse kokku 265 eurot.
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 1Samm 4: Leia algne hind
Ülejäänud raha on makstud esimese 160 toote eest ja neil kõigil on sama algne hind.
Lahutame kogusummast lisatoodete eest makstava summa.
1385−265=1120
Jagame selle summa 160 tootega.
1120:160=7
Kontroll: 160⋅7+265=1120+265=1385 eurot.
5Samm 5Peidetud
5
Küsimus 2Samm 5: Leia lisatoodete arv
Teises küsimuses on viimase toote hind 4 korda algsest hinnast suurem. Leiame, mitmes lisatoode see on.
Viimase toote hind on neli korda algne hind.
an=4⋅7=28
Asendame üldliikme valemisse a1=8,5, d=0,5 ja an=28.
8,5+(n−1)⋅0,5=28
Viime arvu 8,5 paremale poole.
(n−1)⋅0,5=19,5
Jagame võrrandi mõlemaid pooli arvuga 0,5.
n−1=39
Liidame mõlemale poolele 1.
n=40
Lisaks esimesele 160 tootele valmistatakse 40 toodet, seega kokku 160+40=200 toodet. Toote 200 hind on 28 eurot.
6Samm 6Peidetud
6
Küsimus 2Samm 6: Arvuta kogu tasu
Leiame 40 lisatoote eest makstava summa, kus a1=8,5 ja a40=28.
S40=2(8,5+28)⋅40=36,5⋅20=730
Liidame esimese 160 toote eest makstava summa.
1120+730=1850
Esimese 160 toote eest makstakse ikka 160⋅7=1120 eurot ja sellele lisandub lisatoodete eest makstav summa.
VASTUS
1) Ühe toote algne hind on 7 eurot. 2) Kui viimase toote hind on 4 korda algsest hinnast suurem, makstakse ettevõtjale toodangu eest kokku 1850 eurot.