Lai riigieksam 2023, ülesanne 7: Kolmnurk, mille mediaan moodustab küljega 45° nurga
Kolmnurgas ABC on külje AC pikkus 4 cm, külje CB pikkus on 10 cm ning mediaan AM moodustab küljega AC nurga 45∘.
1.Tehke ülesande tekstile vastav joonis.
2.Arvutage kolmnurga ABC ümbermõõt ja pindala.
Allikas: Matemaatika lai riigieksam 2023, ülesanne 7
Eksamil said tegijad selle ülesande eest keskmiselt 47,1% punktidest (Harno aruanne).
Valemikaart: siinusteoreem
sinαa=sinβb=sinγc
Valemikaart: kolmnurga pindala kahe külje ja nurga kaudu
S=21absinγ
γ on ku¨lgede a ja b vaheline nurk
Valemikaart: koosinusteoreem
c2=a2+b2−2abcosγ
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Mediaan jagab külje CB pooleks. Kolmnurgas AMC on teada kaks külge ja ühe külje vastasnurk, seega aitab siinusteoreem. Kui nurk C on teada, saab pindala ja kolmanda külje leida terve kolmnurga ABC kaudu.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Tee joonis
Esimeses küsimuses tuleb teha joonis. Joonestame kolmnurga ABC, märgime külje CB keskpunkti M ja tõmbame mediaani AM. Nurk 45∘ on mediaani AM ja külje AC vahel tipus A.
Kirjutame üles, mis on antud.
AC=4 cm,CB=10 cm,∠MAC=45∘
4 cmCB=10 cm45∘ABCM
Mediaan ühendab kolmnurga tipu vastaskülje keskpunktiga. Seega on M külje CB keskpunkt ja lõigud CM ja MB on võrdsed (joonisel ühe kriipsuga).
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 2Samm 2: Leia lõigu CM pikkus
Teises küsimuses tuleb leida ümbermõõt ja pindala. Alustame kolmnurgast AMC, millest teame kõige rohkem.
Punkt M on külje CB keskpunkt.
CM=MB=210=5 cm
4 cm5 cm5 cm45∘ABCM
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 2Samm 3: Leia nurk AMC siinusteoreemiga
Kolmnurgas AMC on teada küljed AC=4 cm ja CM=5 cm ning külje CM vastasnurk ∠MAC=45∘. Külje AC vastasnurk on ∠AMC.
Kirjutame kolmnurgas AMC siinusteoreemi.
sin∠AMCAC=sin45∘CM
Asendame külgede pikkused.
sin∠AMC4=sin45∘5
Avaldame siinuse. sin45∘=22.
sin∠AMC=54⋅sin45∘=522≈0,5657
Leiame nurga taskuarvutiga.
∠AMC≈34,45∘
4 cm5 cm5 cm45∘≈34,45∘ABCM
Siinusel on samas väärtus ka nüri nurga 180∘−34,45∘=145,55∘ korral. See nurk ei sobi, sest kolmnurgas oleks siis 45∘+145,55∘>180∘. Teisiti öeldes: lühema külje AC vastas on väiksem nurk kui pikema külje CM vastas olev 45∘.
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 2Samm 4: Leia nurk C
Kolmnurga AMC nurkade summa on 180∘.
∠C=180∘−45∘−34,45∘=100,55∘
4 cm5 cm5 cm45∘≈34,45∘≈100,55∘ABCM
Nurk C on ühine kolmnurkadele AMC ja ABC, sest M asub küljel CB.
5Samm 5Peidetud
5
Küsimus 2Samm 5: Arvuta pindala
Kolmnurga ABC küljed AC ja CB ning nendevaheline nurk C on nüüd teada.
Kirjutame pindala valemi kahe külje ja nendevahelise nurga kaudu.
S=21⋅AC⋅CB⋅sin∠C
Asendame külgede pikkused ja nurga.
S=21⋅4⋅10⋅sin100,55∘=20⋅sin100,55∘≈19,7 cm2
4 cm5 cm5 cm45∘≈34,45∘≈100,55∘S≈19,7 cm²ABCM
Taskuarvutiga sin100,55∘≈0,9831, seega S≈20⋅0,9831≈19,66 cm².
6Samm 6Peidetud
6
Küsimus 2Samm 6: Leia külg AB koosinusteoreemiga
Kirjutame koosinusteoreemi külje AB jaoks; selle vastasnurk on C.
AB2=AC2+CB2−2⋅AC⋅CB⋅cos∠C
Asendame. cos100,55∘≈−0,1831 on negatiivne, sest nurk on nüri.