Lai riigieksam 2024, ülesanne 4: Kahe juurega juurvõrrand
Lahendage võrrand x+6=2+2x−5.
Allikas: Matemaatika lai riigieksam 2024, ülesanne 4
Eksamil said tegijad selle ülesande eest keskmiselt 49,8% punktidest (Harno aruanne).
Valemikaart: abivalemid
a2−b2=(a−b)(a+b)
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a−b)2=a2−2ab+b2
Valemikaart: ruutvõrrandi lahendivalem
ax2+bx+c=0
x1;2=2a−b±b2−4ac
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Tõsta võrrandi mõlemad pooled ruutu, jäta alles jäänud juur üksi ühele poole ja tõsta veel kord ruutu. Lõpuks kontrolli lahendeid.
1Samm 1Peidetud
1
Samm 1: Leia määramispiirkond
Ruutjuur on määratud ainult mittenegatiivsest arvust, seega peavad mõlemad juuritavad olema vähemalt null.
Esimene juuritav ei tohi olla negatiivne.
x+6≥0⇒x≥−6
Teine juuritav ei tohi olla negatiivne.
2x−5≥0⇒x≥2,5
Mõlemad tingimused kehtivad, kui x on vähemalt 2,5.
x≥2,5
Määramispiirkond aitab lõpus lahendeid sõeluda. Kuna ruutu tõstmine võib tekitada võõrlahendeid, tuleb saadud lahendid igal juhul ka algvõrrandisse asendada.
2Samm 2Peidetud
2
Samm 2: Tõsta mõlemad pooled ruutu
Tõstame võrrandi mõlemad pooled ruutu.
(x+6)2=(2+2x−5)2
Vasakul kaob juur. Paremal kasutame summa ruudu valemit, kus esimene liige on 2 ja teine 2x−5.
x+6=22+2⋅2⋅2x−5+(2x−5)2
Arvutame paremal pool ruudud ja korrutise.
x+6=4+42x−5+2x−5
Parem pool on summa, seega selle ruut ei ole lihtsalt liikmete ruutude summa. Summa ruudu valemis (a+b)2=a2+2ab+b2 tekib keskmine liige 2⋅2⋅2x−5=42x−5, kuhu juur jääb alles.
3Samm 3Peidetud
3
Samm 3: Jäta juur üksi
Viime kõik juureta liikmed vasakule poole, juur jääb paremale.
x+6−4−2x+5=42x−5
Koondame vasakul pool sarnased liikmed.
7−x=42x−5
Juurest vabanemiseks peab juur olema ühel pool üksi. Kui tõstaksime ruutu enne liikmete ümberpaigutamist, jääks juur jälle keskmisesse liikmesse alles.
4Samm 4Peidetud
4
Samm 4: Tõsta uuesti ruutu
Tõstame võrrandi mõlemad pooled ruutu.
(7−x)2=16(2x−5)
Vasakul kasutame vahe ruudu valemit ja paremal korrutame sulud lahti.
49−14x+x2=32x−80
Viime kõik liikmed vasakule poole ja koondame.
x2−46x+129=0
Paremal pool (42x−5)2=16(2x−5), sest ruutu tõstetakse nii tegur 4 kui ka juur. Vasakul (7−x)2=49−14x+x2.
5Samm 5Peidetud
5
Samm 5: Lahenda ruutvõrrand
Kasutame lahendivalemit, kus a=1, b=−46 ja c=129.
x1;2=246±462−4⋅129=246±2116−516=246±1600
Ruutjuur arvust 1600 on 40.
246±1600=246±40
Arvutame mõlemad lahendid.
x1=3,x2=43
6Samm 6Peidetud
6
Samm 6: Kontrolli lahendit x=3
Arvutame võrrandi vasaku poole, kui x=3.
vp=3+6=9=3
Arvutame parema poole, kui x=3.
pp=2+2⋅3−5=2+1=3
Vasak ja parem pool on võrdsed, seega x=3 on lahend.
vp=pp
7Samm 7Peidetud
7
Samm 7: Kontrolli lahendit x=43
Arvutame võrrandi vasaku poole, kui x=43.
vp=43+6=49=7
Arvutame parema poole, kui x=43.
pp=2+2⋅43−5=2+81=2+9=11
Vasak ja parem pool ei ole võrdsed, seega x=43 on võõrlahend.
vp=pp
Võõrlahend tekkis ruutu tõstmisel. Võrrandis 7−x=42x−5 on parem pool alati mittenegatiivne, aga x=43 korral on vasak pool 7−43=−36 negatiivne. Ruutu tõstes see märgi erinevus kaob.