Lai riigieksam 2024, ülesanne 3: Tühjad patareid sahtlis
Urmasel on sahtlis 16 väliselt ühesugust patareid. Nende hulgas on ka mõned tühjad patareid, mille ta kavatseb viia ohtlike jäätmete kogumiskonteinerisse. On teada, et sahtlist ühe patarei juhuslikul valimisel on tühja patarei saamise tõenäosus 0,375.
1.Mitu tühja patareid on Urmasel sahtlis?
2.Leidke tõenäosus, et
1)võttes sahtlist juhuslikult kaks patareid, on mõlemad tühjad;
2)võttes sahtlist juhuslikult neli patareid, on vähemalt üks patareidest tühi.
Allikas: Matemaatika lai riigieksam 2024, ülesanne 3
Eksamil said tegijad selle ülesande eest keskmiselt 65,5% punktidest (Harno aruanne).
Valemikaart: tõenäosus
P=nk
k on soodsate,n ko˜igi vo˜imaluste arv
Valemikaart: kombinatoorika
Pn=n!
Ank=(n−k)!n!
Cnk=k!(n−k)!n!
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Tühjade patareide arv on tõenäosus korda kõigi patareide arv. Küsimuses „vähemalt üks“ on lihtsam leida vastandsündmuse tõenäosus.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Leia tühjade patareide arv
Esimeses küsimuses tuleb leida, mitu tühja patareid on sahtlis. Tähistame tühjade patareide arvu tähega m.
Klassikalise tõenäosuse valemis on m soodsate ja 16 kõigi võimaluste arv.
P=16m=0,375
Korrutame võrrandi mõlemaid pooli arvuga 16.
m=16⋅0,375=6
Ühe patarei valimisel on igal patareil sama võimalus tulla. Soodsaid võimalusi on sama palju kui tühje patareisid, kõiki võimalusi on 16.
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 2.1Samm 2: Loe kokku kahe patarei valikud
Küsimuses 2.1 võetakse sahtlist korraga kaks patareid. Järjekord ei ole oluline, seega loendame kombinatsioone.
Kõik võimalused on valida 16 patareist 2.
C162=2⋅116⋅15=120
Soodsad võimalused on valida mõlemad kuuest tühjast patareist.
C62=2⋅16⋅5=15
Valemist Cnk=k!(n−k)!n! saame lühemalt C162=216⋅15, sest 14! taandub ära.
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 2.1Samm 3: Arvuta tõenäosus
Jagame soodsate võimaluste arvu kõigi võimaluste arvuga ja taandame murdu arvuga 15.
P(A)=C162C62=12015=81
Sama tulemuse annab korrutamislause: esimene patarei on tühi tõenäosusega 166 ja seejärel teine tõenäosusega 155, sest üks tühi on juba võetud. 166⋅155=81.
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 2.2Samm 4: Vaata vastandsündmust
Küsimuses 2.2 võetakse neli patareid. „Vähemalt üks tühi“ hõlmab nelja juhtu (1, 2, 3 või 4 tühja), aga vastandsündmus on ainult üks: kõik neli patareid on täis.
Kõik võimalused on valida 16 patareist 4.
C164=4⋅3⋅2⋅116⋅15⋅14⋅13=1820
Täis patareisid on 16−6=10. Kõik neli on täis, kui valime need kümnest täis patareist.
C104=4⋅3⋅2⋅110⋅9⋅8⋅7=210
Arvutame vastandsündmuse tõenäosuse ja taandame murdu arvuga 70.
P(B)=1820210=263
Vastandsündmus B toimub täpselt siis, kui sündmus B ei toimu. Kui ei ole ühtegi tühja patareid, on kõik neli täis.
5Samm 5Peidetud
5
Küsimus 2.2Samm 5: Lahuta vastandsündmuse tõenäosus ühest
Sündmuse ja vastandsündmuse tõenäosuste summa on 1.
P(B)=1−P(B)=1−263=2623
Kuna kas sündmus B või selle vastandsündmus toimub kindlasti, on nende tõenäosuste summa 1.
VASTUS
1) Urmasel on sahtlis 6 tühja patareid. 2) Tõenäosus, et kaks juhuslikult võetud patareid on mõlemad tühjad, on 81, ja tõenäosus, et neljast juhuslikult võetud patareist on vähemalt üks tühi, on 2623.