Lai riigieksam 2024, ülesanne 6: Astmeavaldis ja logaritmid
1.Lihtsustage avaldis 1+m211−m−21−m−1m21+m−21, kui m>0 ja m=1.
2.Arvutage selle avaldise väärtus, kui m=log6180−log6(3a)−21log69a225 ja a>0.
Allikas: Matemaatika lai riigieksam 2024, ülesanne 6
Eksamil said tegijad selle ülesande eest keskmiselt 54,7% punktidest (Harno aruanne).
Valemikaart: astmed ja juured
am⋅an=am+n,am:an=am−n
(am)n=amn,(ab)n=anbn
a0=1,a−n=an1
anm=nam
Valemikaart: abivalemid
a2−b2=(a−b)(a+b)
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a−b)2=a2−2ab+b2
Valemikaart: logaritmid
logab=c⟺ac=b,a>0,a=1,b>0
loga(xy)=logax+logay
logayx=logax−logay
logaxk=klogax
logax=logbalogbx,alogax=x
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Kirjuta m21=m ja m−21=m1. Nimetaja m−1 on ruutude vahe (m)2−12.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Kirjuta astmed juurtena
Esimeses küsimuses tuleb avaldis lihtsustada. Murruline astendaja 21 tähendab ruutjuurt ja negatiivne astendaja pöördväärtust.
Astendaja 21 on ruutjuur.
m21=m
Negatiivse astendaja korral võtame pöördväärtuse.
m−21=m211=m1
Valemid anm=nam ja a−n=an1. Kuna m>0, on m määratud ja positiivne, seega võib sellega ka jagada.
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 1Samm 2: Lihtsusta esimest murdu
Asendame astmed juurtega.
1+m211−m−21=1+m1−m1
Viime lugeja ühisele nimetajale m ja jagame selle murru nimetajaga m+1.
1+m1−m1=m+1mm−1=m(m+1)m−1
1−m1=mm−m1=mm−1. Murru jagamisel arvuga korrutatakse see arv murru nimetajasse.
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 1Samm 3: Lihtsusta teist murdu
Asendame astmed juurtega.
m−1m21+m−21=m−1m+m1
Viime lugeja ühisele nimetajale m ja jagame selle murru nimetajaga m−1.
m−1m+m1=m−1mm+1=m(m−1)m+1
m+m1=mm⋅m+1=mm+1, sest m⋅m=m.
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 1Samm 4: Tegurda m−1
Teise murru nimetajas on tegur m−1. Selle saab kirjutada ruutude vahena.
Kasutame ruutude vahe valemit, kus esimene liige on m ja teine 1.
m−1=(m)2−12=(m−1)(m+1)
Esimese murru nimetajas on tegur m+1. Kui m−1 tegurdada, on näha, et ühisele nimetajale jõudmiseks tuleb esimest murdu laiendada ainult teguriga m−1.
5Samm 5Peidetud
5
Küsimus 1Samm 5: Vii murrud ühisele nimetajale
Ühine nimetaja on m(m−1)(m+1)=m(m−1). Laiendame esimest murdu teguriga m−1.
m(m−1)(m−1)2−m(m−1)m+1
Lahutame lugejad, nimetaja jääb samaks.
m(m−1)(m−1)2−(m+1)
Esimese murru lugeja korrutub teguriga m−1 ja saab kujuks (m−1)2, nimetaja saab kujuks m(m+1)(m−1)=m(m−1). Teine lugeja m+1 jääb sulgudesse, sest selle ees on miinus.
6Samm 6Peidetud
6
Küsimus 1Samm 6: Lihtsusta lugeja ja taanda
Kasutame lugejas vahe ruudu valemit ja avame sulud.
(m−1)2−(m+1)=m−2m+1−m−1=−2m
Asendame lugeja, taandame murdu teguriga m ja viime miinusmärgi nimetajasse.
m(m−1)−2m=m−1−2=1−m2
(m−1)2=(m)2−2m+1=m−2m+1. Liikmed m ja −m ning 1 ja −1 koonduvad ära. Lõpuks m−1−2=−(m−1)2=1−m2.
7Samm 7Peidetud
7
Küsimus 2Samm 7: Arvuta m väärtus
Teises küsimuses on m antud logaritmide kaudu. Kõigil logaritmidel on alus 6, seega saab need üheks logaritmiks kokku võtta.
Viime kordaja 21 logaritmitava astendajaks. Kuna a>0, on 9a2=3a.
21log69a225=log69a225=log63a5
Asendame selle m avaldisse.
m=log6180−log6(3a)−log63a5
Logaritmide vahe on jagatise logaritm. Jagame 180 korrutisega 3a⋅3a5=5.
m=log63a⋅3a5180=log65180=log636
Kuna 62=36, on logaritm 2.
m=2
Kasutame valemeid klogax=logaxk ja logax−logay=logayx. Kaks järjestikust lahutamist tähendavad jagamist mõlema arvuga ehk nende korrutisega. Tähed a taanduvad ära, seega m=2 iga positiivse a korral. See m sobib, sest m>0 ja m=1.
8Samm 8Peidetud
8
Küsimus 2Samm 8: Arvuta avaldise väärtus
Asendame lihtsustatud avaldisse m=2.
1−m2=1−22=−12=−2
Lihtsustatud avaldisse on palju lihtsam asendada kui algsesse, kus oleks vaja arvutada 2−21 jne.
VASTUS
Lihtsustatud avaldis on 1−m2. Kui m=log6180−log6(3a)−21log69a225, siis m=2 ja avaldise väärtus on −2.