Joonisel on ristkülik ABCD, mille külje AD pikkus on 5 cm. Ristküliku ABCD ümbermõõt on 24 cm.Küljele AB toetub kolmnurk AFB, milles AF=6 cm ja ∠AFB=80∘.Küljele BC kui alusele toetub võrdhaarne kolmnurk BEC. Selle kolmnurga tipunurk BEC on suurusega 46∘.Arvutage lõigu EF pikkus.
Allikas: Matemaatika lai riigieksam 2025, ülesanne 12
Eksamil said tegijad selle ülesande eest keskmiselt 71,13% punktidest (Harno aruanne).
Ülesande joonis
ABCDEF
Valemikaart: siinusteoreem
sinαa=sinβb=sinγc
Valemikaart: koosinusteoreem
c2=a2+b2−2abcosγ
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Lõik EF on kolmnurga EBF külg. Leia selle kolmnurga küljed BF ja BE ning nendevaheline nurk FBE.
1Samm 1Peidetud
1
Samm 1: Leia ristküliku külg AB
Lõik EF on kolmnurga EBF külg. Selle leidmiseks on vaja külgi BF ja BE ning nendevahelist nurka. Alustame ristküliku küljest AB.
Ristküliku ümbermõõt on kahe naaberkülje summa kahekordne.
P=2(AB+AD)
Asendame P=24 ja AD=5 ning avaldame AB.
AB=(24−2⋅5):2=14:2=7 (cm)
5 cm7 cmABCDEF
Ristküliku vastasküljed on võrdsed, seega ka BC=AD=5 cm.
2Samm 2Peidetud
2
Samm 2: Leia kolmnurgast AFB nurk B
Kolmnurgas AFB teame kahte külge (AB=7 cm, AF=6 cm) ja külje AB vastasnurka 80∘. Kasutame siinusteoreemi.
Kirjutame siinusteoreemi külgede AB ja AF ning nende vastasnurkade kohta.
sin∠AFBAB=sin∠ABFAF
Asendame teadaolevad suurused.
sin80∘7=sin∠ABF6
Avaldame nurga siinuse.
sin∠ABF=76⋅sin80∘≈0,8441
Leiame nurga taskuarvutiga.
∠ABF≈57,6∘
5 cm7 cm6 cm80∘57,6∘ABCDEF
Siinuse väärtusele 0,8441 vastab ka nürinurk 180∘−57,6∘=122,4∘, aga see ei sobi: kolmnurgas on juba nurk 80∘ ja 80∘+122,4∘>180∘. Ka AF<AB näitab, et nurk B on väiksem kui nurk F.
3Samm 3Peidetud
3
Samm 3: Leia külg BF
Kolmnurga nurkade summa on 180∘.
∠FAB≈180∘−(80∘+57,6∘)=42,4∘
Kirjutame siinusteoreemi külje BF ja selle vastasnurga FAB kohta.
sin80∘7=sin42,4∘BF
Avaldame BF.
BF=sin80∘7⋅sin42,4∘≈4,79 (cm)
5 cm7 cm6 cm≈4,79 cm80∘57,6∘42,4∘ABCDEF
4Samm 4Peidetud
4
Samm 4: Leia kolmnurgast BEC külg BE
Kolmnurk BEC on võrdhaarne alusega BC=5 cm. Võrdhaarse kolmnurga alusnurgad on võrdsed.
Alusnurgad saame, kui lahutame tipunurga 180∘-st ja jagame kahega.
∠CBE=∠BCE=2180∘−46∘=67∘
Kirjutame siinusteoreemi külgede BC ja BE ning nende vastasnurkade kohta.
Kui arvutada ümardamata väärtustega, on EF≈10,698 cm, seega ümardamine vastust ei muuda. Vahetulemusi tasub taskuarvutis hoida täpsetena ja ümardada alles lõpus.