Lai riigieksam 2025, ülesanne 9: Aritmeetiline jada ja logaritmid

Esimeses küsimuses tuleb leida jada vahe $d$ ja esimene liige $a_1$. Kirjutame tekstist kaks võrrandit liikmete $a_4$ ja $a_8$ kohta.

$60\%$ neljandast liikmest on $0{,}6 a_4$.

Kahe liikme summa on $72$.

Asendame summa võrrandisse $a_8 = 0{,}6\,a_4$.

Koondame vasakul pool.

Jagame mõlemad pooled arvuga $1{,}6$.

Arvutame kaheksanda liikme.

Kirjutame aritmeetilise jada üldliikme valemi.

Siit $a_8 = a_1 + 7d$ ja $a_4 = a_1 + 3d$, seega kaheksas liige on neljandast $4d$ võrra suurem.

Asendame leitud liikmed.

Lahutame $45$ ja jagame arvuga $4$.

Avaldame valemist $a_4 = a_1 + 3d$ esimese liikme.

Asendame $a_4 = 45$ ja $d = -4{,}5$.

Teises küsimuses on kolm järjestikust liiget. Aritmeetilises jadas on järjestikuste liikmete vahe alati sama. Logaritmid on määratud ainult positiivsetest arvudest, seega $4 - x > 0$ ja $1 - 2x > 0$ ehk $x < 0{,}5$.

Teine liige miinus esimene võrdub kolmas liige miinus teine.

Viime liikmed nii, et mõlemal pool on summa.

Kasutame korrutise logaritmi valemit mõlemal pool.

Kui logaritmid on võrdsed, on võrdsed ka logaritmitavad.

Avame sulud.

Viime kõik liikmed vasakule poole ja koondame.

Asendame lahendivalemisse $a = 2$, $b = -9$ ja $c = -5$.

Arvutame mõlemad lahendid.

Kui $x = 5$, on esimene logaritmitav negatiivne, seega logaritm pole määratud ja $x = 5$ on võõrlahend.

Kui $x = -0{,}5$, on liikmed $\log 4{,}5$, $\log 3$ ja $\log 2$. Arvutame teise ja esimese liikme vahe.

Arvutame kolmanda ja teise liikme vahe.

Vahed on võrdsed, seega $x = -0{,}5$ sobib.