Põhikooli lõpueksam 2016, ülesanne 1: Murdavaldise lihtsustamine ja väärtuse arvutamine
1.Lihtsusta avaldis a−ba−(a+b)(a−b)b2+a2.
2.Korruta punktis 1 saadud tulemust murruga b3a2+2ab+b2 ja lihtsusta.
3.Arvuta punktis 2 saadud avaldise täpne väärtus, kui a=2 ja b=−3.
Allikas: Põhikooli matemaatika lõpueksam 2016, ülesanne 1
Valemikaart: abivalemid
a2−b2=(a−b)(a+b)
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a−b)2=a2−2ab+b2
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Teise murru nimetaja (a+b)(a−b) sobib ühiseks nimetajaks. Esimest murdu tuleb selleks laiendada teguriga a+b.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Vii murrud ühisele nimetajale
Esimeses küsimuses tuleb lihtsustada kahe murru vahe. Murde saab lahutada alles siis, kui neil on sama nimetaja. Teise murru nimetaja (a+b)(a−b) sobib ühiseks nimetajaks.
Esimese murru nimetajas on tegur a−b juba olemas, puudu on tegur a+b. Laiendame esimest murdu: korrutame selle lugejat ja nimetajat teguriga a+b.
a−ba=(a+b)(a−b)a(a+b)
Nüüd on murdudel sama nimetaja. Kirjutame lahutamise ühele murrujoonele. Lahutatava murru lugeja paneme sulgudesse.
Murru laiendamisel korrutatakse lugejat ja nimetajat sama avaldisega, seega murru väärtus ei muutu. Lahutatav lugeja b2+a2 läheb sulgudesse, sest miinusmärk käib kogu lugeja kohta.
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 1Samm 2: Ava sulud ja koonda lugeja
Avame lugejas sulud. Esimeses osas korrutame a sulgude mõlema liikmega. Teise sulu ees olev miinus muudab sulgudes mõlema liikme märgi vastupidiseks.
a(a+b)−(b2+a2)=a2+ab−b2−a2
Koondame sarnased liikmed: a2 ja −a2 annavad kokku nulli.
a2+ab−b2−a2=ab−b2
Miinus sulu ees muudab mõlema liikme märgi: −(b2+a2)=−b2−a2. Seejärel koonduvad liikmed a2 ja −a2.
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 1Samm 3: Tegurda lugeja ja taanda
Kirjutame murru uue lugejaga.
(a+b)(a−b)a(a+b)−(b2+a2)=(a+b)(a−b)ab−b2
Toome lugejas ühise teguri b sulgude ette.
(a+b)(a−b)ab−b2=(a+b)(a−b)b(a−b)
Tegur a−b on nii lugejas kui ka nimetajas, seega taandame selle.
(a+b)(a−b)b(a−b)=(a+b)(a−b)b(a−b)=a+bb
Taandada tohib ainult tegureid, mitte liidetavaid. Seepärast tegurdame lugeja enne taandamist. Avaldis on määratud, kui a=b ja a=−b (nimetaja ei tohi olla null).
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 2Samm 4: Tegurda summa ruut ja korruta
Teises küsimuses tuleb punktis 1 saadud tulemus a+bb korrutada murruga b3a2+2ab+b2. Enne korrutamist tegurdame teise murru lugeja, siis on näha, mida saab taandada.
Teise murru lugeja on summa ruut. Kasutame summa ruudu valemit tagurpidi: esimene liige on a ja teine liige b.
a2+2ab+b2=(a+b)2
Kirjutame korrutise, kus teise murru lugeja on tegurdatud kujul.
a+bb⋅b3a2+2ab+b2=a+bb⋅b3(a+b)2
Murdude korrutamisel korrutame lugeja lugejaga ja nimetaja nimetajaga.
a+bb⋅b3(a+b)2=(a+b)⋅b3b⋅(a+b)2
Summa ruudu valem on (a+b)2=a2+2ab+b2. Siin loeme seda paremalt vasakule: kolmliige a2+2ab+b2 on sama mis (a+b)2.
5Samm 5Peidetud
5
Küsimus 2Samm 5: Taanda
Kirjutame astmed korrutistena: (a+b)2=(a+b)(a+b) ja b3=b⋅b2. Nii on näha, mida saab taandada.
Tegur a+b taandub ühe korra: lugejasse jääb üks a+b. Tegur b taandub samuti: nimetajasse jääb b2. Avaldis on määratud, kui lisaks on b=0.
6Samm 6Peidetud
6
Küsimus 3Samm 6: Asenda a = 2 ja b = −3
Kolmandas küsimuses tuleb arvutada punktis 2 saadud avaldise b2a+b täpne väärtus. Täpne väärtus tähendab, et vastust ei ümardata.
Asendame avaldisse a=2 ja b=−3. Negatiivse arvu paneme sulgudesse.
b2a+b=(−3)22+(−3)
Arvutame lugeja ja nimetaja: 2+(−3)=−1 ja (−3)2=9.
(−3)22+(−3)=9−1=−91
Negatiivne arv pannakse asendamisel sulgudesse: (−3)2=9, aga −32=−9. Täpne väärtus on harilik murd −91; kümnendmurd −0,111… on lõpmatu ja selle ümardus ei ole täpne.
VASTUS
1) Lihtsustatud avaldis on a+bb. 2) Korrutis murruga b3a2+2ab+b2 lihtsustub kujule b2a+b. 3) Selle avaldise täpne väärtus, kui a=2 ja b=−3, on −91.