Põhikooli lõpueksam 2016, ülesanne 7: Võrrandisüsteem liitmisvõttega ja graafiliselt
Matemaatika eksamil oli vaja lahendada kahe tundmatuga lineaarvõrrandite süsteem
⎩⎨⎧33x−2+21−2y=1652x=1−y
Pille lahendas selle süsteemi liitmisvõttega, Kalle aga graafiliselt. Mõlemad lahendasid õigesti. Esita kirjalikult Pille ja Kalle lahendused.
Allikas: Põhikooli matemaatika lõpueksam 2016, ülesanne 7
Lahenduse joonis
Selle joonise teed lahendamise käigus ise.
−6−5−4−3−2−1123456−6−5−4−3−2−1123450xy
Valemikaart: lineaarfunktsioon
y=ax+b
a on to˜us,b on algordinaat
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Vabane kõigepealt murdudest, korrutades esimest võrrandit nimetajate ühiskordsega. Graafiliseks lahendamiseks avalda kummastki võrrandist y.
1Samm 1Peidetud
1
Samm 1: Vabane esimeses võrrandis murdudest
Ülesandes tuleb esitada kaks lahendust: Pille lahendus liitmisvõttega ja Kalle graafiline lahendus. Mõlema jaoks on vaja võrrandeid lihtsamal kujul, seega teeme need kõigepealt korda. Alustame esimesest võrrandist, kus on murrud.
Kirjutame parema poole segaarvu liigmurruna.
165=61⋅6+5=611
Nimetajate 3, 2 ja 6 vähim ühiskordne on 6. Korrutame võrrandi mõlemat poolt arvuga 6.
33x−2+21−2y=611⋅6
Taandame: 6:3=2, 6:2=3 ja 6:6=1. Lugejad paneme sulgudesse, sest korrutada tuleb kogu lugejat.
2(3x−2)+3(1−2y)=11
Kui võrrandi mõlemat poolt korrutada sama arvuga (mis ei ole null), jäävad lahendid samaks. Vähima ühiskordsega korrutades kaovad kõik nimetajad korraga.
2Samm 2Peidetud
2
Samm 2: Ava sulud ja koonda
Avame sulud. Korrutame sulgude ees oleva arvu sulgude iga liikmega.
6x−4+3−6y=11
Koondame arvud: −4+3=−1.
6x−6y−1=11
Viime arvu −1 paremale poole. Teisele poole viidud liikme märk muutub.
6x−6y=11+1
Liidame arvud. Kõik kordajad jaguvad kuuega, seega jagame võrrandi mõlemat poolt arvuga 6.
6x−6y=12:6
Saame esimese võrrandi lihtsamal kujul.
x−y=2
Kuuega jagamine teeb kordajad võimalikult väikseks: 6x:6=x, 6y:6=y ja 12:6=2.
3Samm 3Peidetud
3
Samm 3: Vii teine võrrand samale kujule
Kirjutame teise võrrandi.
2x=1−y
Viime liikme −y vasakule poole. Teisele poole viidud liikme märk muutub.
2x+y=1
Liitmisvõtte jaoks peavad tundmatud olema mõlemas võrrandis vasakul ja samas järjekorras.
4Samm 4Peidetud
4
Samm 4: Pille lahendus: liida võrrandid
Pille lahendus. Liitmisvõttes liidetakse võrrandite vasakud pooled omavahel ja paremad pooled omavahel. Liikmed −y ja +y on vastandliikmed, seega kaob liitmisel y ära.
Kirjutame süsteemi lihtsamal kujul.
{x−y=22x+y=1
Liidame võrrandite vasakud pooled ja paremad pooled.
(x−y)+(2x+y)=2+1
Koondame: x+2x=3x ja −y+y=0. Et x jääks üksi, jagame võrrandi mõlemat poolt arvuga 3.
3x=3:3
Saame tundmatu x väärtuse.
x=3:3=1
Kui ühe tundmatu kordajad on vastandarvud (siin −1 ja 1), jääb pärast liitmist alles ühe tundmatuga võrrand.
5Samm 5Peidetud
5
Samm 5: Pille lahendus: leia y
Teise tundmatu leidmiseks asendame x=1 ühte lihtsustatud võrranditest.
Asendame x=1 võrrandisse 2x+y=1.
2⋅1+y=1
Arvutame korrutise 2⋅1=2 ja viime arvu 2 paremale poole. Märk muutub.
y=1−2=−1
6Samm 6Peidetud
6
Samm 6: Pille lahendus: kontrolli lahendit
Kontrollime lahendit x=1, y=−1 esialgsetes võrrandites. Arvutame kummaski võrrandis eraldi vasaku poole (vp) ja parema poole (pp).
Arvutame esimese võrrandi vasaku poole, kui x=1 ja y=−1.
vp=33⋅1−2+21−2⋅(−1)=31+23
Viime murrud ühisele nimetajale 6 ja liidame.
31+23=62+69=611
Esimese võrrandi parem pool on segaarv. Kirjutame selle liigmurruna.
pp=165=611
Esimeses võrrandis on vasak ja parem pool võrdsed.
611=611 ehk vp=pp
Arvutame teise võrrandi vasaku poole.
vp=2⋅1=2
Arvutame teise võrrandi parema poole. Miinus negatiivse arvu ees annab plussi.
pp=1−(−1)=1+1=2
Ka teises võrrandis on vasak ja parem pool võrdsed, seega lahend sobib.
2=2 ehk vp=pp
Kontroll tehakse esialgsete võrranditega, mitte teisendatud kujudega: nii tuleb välja ka teisendamisel tehtud viga.
7Samm 7Peidetud
7
Samm 7: Kalle lahendus: avalda mõlemast võrrandist y
Kalle lahendus. Graafilisel lahendamisel joonestatakse kummagi võrrandi graafik ühte teljestikku. Süsteemi lahend on graafikute lõikepunkt. Graafiku joonestamiseks avaldame kummastki võrrandist y.
Esimeses võrrandis x−y=2 viime liikme x paremale poole. Et saada y, mitte −y, korrutame võrrandi mõlemat poolt arvuga −1.
−y=2−x⋅(−1)
Kõigi liikmete märgid muutuvad. Kirjutame x-iga liikme ette.
y=−2+x=x−2
Teises võrrandis 2x=1−y viime y vasakule ja 2x paremale poole. Teisele poole viidud liikmete märgid muutuvad.
y=1−2x=−2x+1
Mõlemad on lineaarfunktsioonid kujul y=ax+b, nende graafikud on sirged. Esimese sirge tõus on 1 ja algordinaat −2, teise tõus on −2 ja algordinaat 1. Tõusud on erinevad, seega sirged lõikuvad täpselt ühes punktis.
8Samm 8Peidetud
8
Samm 8: Kalle lahendus: esimese sirge väärtuste tabel
Sirge joonestamiseks piisab kahest punktist. Arvutame sirge y=x−2 kaks punkti.
Arvutame y väärtuse, kui x=0.
y=0−2=−2
Arvutame y väärtuse, kui x=4.
y=4−2=2
Kanname tulemused väärtuste tabelisse ja punktid teljestikku.
xy0−242
−6−5−4−3−2−1123456−6−5−4−3−2−1123450xy
Punktid tasub valida teineteisest kaugemal, siis tuleb sirge täpsem.
9Samm 9Peidetud
9
Samm 9: Kalle lahendus: joonesta esimene sirge
Tõmbame läbi kahe punkti sirge.
y=x−2
−6−5−4−3−2−1123456−6−5−4−3−2−1123450xyy=x−2
10Samm 10Peidetud
10
Samm 10: Kalle lahendus: teise sirge väärtuste tabel
Arvutame samamoodi sirge y=−2x+1 kaks punkti.
Arvutame y väärtuse, kui x=0.
y=−2⋅0+1=0+1=1
Arvutame y väärtuse, kui x=−2. Kahe negatiivse arvu korrutis on positiivne.
y=−2⋅(−2)+1=4+1=5
Kanname tulemused väärtuste tabelisse ja punktid teljestikku.
Süsteemi lahend on sirgete lõikepunkt, sest ainult selle punkti koordinaadid rahuldavad mõlemat võrrandit. Jooniselt loetud lahend võib olla ebatäpne, seega kontrollime seda arvutusega.
Loeme jooniselt sirgete lõikepunkti koordinaadid.
(1;−1)
Kontrollime, et punkt asub esimesel sirgel: asendame x=1.
y=1−2=−1
Kontrollime, et punkt asub ka teisel sirgel.
y=−2⋅1+1=−2+1=−1
Punkt asub mõlemal sirgel, seega on selle koordinaadid süsteemi lahend.
Mõlema sirge valemist tuleb x=1 korral y=−1, seega punkt (1;−1) asub mõlemal sirgel. Tulemus on sama mis Pillel.
VASTUS
Pille sai liitmisvõttega süsteemi lahendiks x=1 ja y=−1. Kalle joonestas sirged y=x−2 ja y=−2x+1, mis lõikuvad punktis (1;−1), seega on ka tema lahend x=1 ja y=−1.