Allikas: Põhikooli matemaatika lõpueksam 2021, ülesanne 1
Valemikaart: abivalemid
a2−b2=(a−b)(a+b)
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a−b)2=a2−2ab+b2
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Enne murdude korrutamist tegurda. Esimese murru lugejas on ruutude vahe ja teise murru nimetajas saab ühise teguri sulgude ette tuua.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Tegurda esimese murru lugeja
Esimeses küsimuses tuleb lihtsustada avaldised A ja B. Alustame avaldisest A. Enne murdude korrutamist tegurdame lugejad ja nimetajad, sest taandada saab ainult tegureid.
Esimese murru lugejas on ruutude vahe. Kasutame valemit a2−b2=(a−b)(a+b).
a2−b2=(a−b)(a+b)
Lugejas on kahe ruudu vahe, mis on abivalemi järgi summa ja vahe korrutis. Korrutisena kirjutatud avaldist saab hiljem taandada, summat ja vahet taandada ei saa.
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 1Samm 2: Tegurda teise murru nimetaja
Teise murru nimetaja mõlemas liikmes on tegur 3b. Kirjutame selle teguri välja ja toome sulgude ette.
3ab+3b2=3b⋅a+3b⋅b=3b(a+b)
Mõlemas liikmes on tegur 3b: 3ab=3b⋅a ja 3b2=3b⋅b. Ühise teguri sulgude ette toomisel jääb sulgudesse see, millega ühist tegurit tuli korrutada: a+b.
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 1Samm 3: Korruta murrud ja taanda
Asendame avaldises A lugeja ja nimetaja tegurdatud kujuga.
A=2a2(a−b)(a+b)⋅3b(a+b)a
Korrutame murrud: lugejad korrutame omavahel ja nimetajad omavahel.
2a2(a−b)(a+b)⋅3b(a+b)a=2a2⋅3b(a+b)(a−b)(a+b)⋅a
Taandame lugeja ja nimetaja ühised tegurid (a+b) ja a. Nimetajasse jääb 2a⋅3b, mille korrutame.
2a2⋅3b(a+b)(a−b)(a+b)⋅a=2a⋅3ba−b=6aba−b
Murdude korrutamisel korrutame lugejad omavahel ja nimetajad omavahel. Tegur a+b on nii lugejas kui ka nimetajas ja taandub. Lugeja a taandub nimetaja a2-ga, sest a2:a=a, ja nimetajasse jääb 2a⋅3b=6ab. Taandamine on lubatud, kui a=0, b=0 ja a+b=0.
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 1Samm 4: Astenda avaldise B lugejas
Nüüd lihtsustame avaldise B. Kõigepealt arvutame lugejas sulgudes oleva korrutise ruudu.
Korrutise astendamisel astendame iga teguri. Astme astendamisel korrutame astendajad.
(ab3)2=a2⋅b3⋅2=a2b6
Asendame saadud tulemuse avaldise B lugejasse.
B=3a3b60,5a2b6
Korrutise astendamisel astendatakse iga tegur eraldi: (ab3)2=a2⋅(b3)2. Astme astendamisel astendajad korrutatakse: (b3)2=b3⋅2=b6.
5Samm 5Peidetud
5
Küsimus 1Samm 5: Taanda avaldis B
Taandame teguri b6 ja teguri a2. Nimetajasse jääb a3:a2=a.
3a3b60,5a2b6=3a0,5
Kümnendmurrust lugejas vabaneme, kui laiendame murdu arvuga 2.
3a0,5=3a⋅20,5⋅2=6a1
Tegur b6 on nii lugejas kui ka nimetajas ja taandub täielikult. Lugeja a2 taandub nimetaja a3-ga ja nimetajasse jääb üks a. Murdu laiendades korrutame lugejat ja nimetajat sama arvuga, siis murru väärtus ei muutu.
6Samm 6Peidetud
6
Küsimus 2Samm 6: Koosta summa ja vii murrud ühisele nimetajale
Teises küsimuses tuleb leida avaldiste A ja B summa. Liidame lihtsustatud avaldised. Murdude liitmiseks peavad neil olema ühised nimetajad.
Kirjutame summa, kuhu asendame lihtsustatud avaldised A ja B.
A+B=6aba−b+6a1
Nimetajate 6ab ja 6a ühine nimetaja on 6ab. Esimesel murrul on see juba olemas, teist murdu laiendame teguriga b.
6aba−b+6a1=6aba−b+6a⋅b1⋅b=6aba−b+6abb
Ühine nimetaja peab jaguma mõlema nimetajaga. Avaldis 6ab jagub nii 6ab-ga kui ka 6a-ga (6ab:6a=b), seega on b teise murru laiendaja.
7Samm 7Peidetud
7
Küsimus 2Samm 7: Liida lugejad ja taanda
Sama nimetajaga murdude liitmisel liidame lugejad, nimetaja jääb samaks. Liikmed −b ja +b koonduvad.
6aba−b+6abb=6aba−b+b=6aba
Taandame murdu teguriga a. Lugejasse jääb 1.
6aba=6b1
Liikmed −b ja +b annavad kokku nulli ning lugejasse jääb a, mis taandub nimetaja a-ga. Lugejasse jääb siis 1, mitte 0, sest a:a=1.
VASTUS
1) Lihtsustatud avaldised on A=6aba−b ja B=6a1. 2) Avaldiste A ja B summa on A+B=6b1.