Põhikooli lõpueksam 2023, ülesanne 4: Rooside hinnad

Ülesandes on kaks tundmatut hinda: punase roosi hind ja valge roosi hind. Tähistame need tähtedega ja paneme kirja, mida tähed tähendavad.

Punase roosi hinna tähistame tähega $x$.

Valge roosi hinna tähistame tähega $y$.

Kõik summad peavad olema samas ühikus. Teisendame sendid eurodeks: $90$ senti on $0{,}9$ eurot.

Esimene ost: $5$ punast roosi maksavad $5x$ eurot ja $3$ valget roosi $3y$ eurot, kokku $33{,}9$ eurot.

Teine ost: $2$ punast roosi maksavad $2x$ eurot ja $4$ valget roosi $4y$ eurot, kokku $27$ eurot.

Mõlemad tingimused peavad kehtima korraga, seega kirjutame võrrandid süsteemina.

Lahendame süsteemi asendusvõttega. Teises võrrandis jaguvad kõik arvud kahega, seega on sealt $x$ kõige lihtsam avaldada.

Jagame teise võrrandi mõlemat poolt arvuga $2$.

Pärast jagamist on $x$ kordaja $1$.

Viime liikme $2y$ paremale poole. Teisele poole viidud liikme märk muutub.

Asendame esimeses võrrandis $x$ asemele avaldise $13{,}5 - 2y$. Avaldise paneme sulgudesse.

Avame sulud: korrutame arvu $5$ sulgude mõlema liikmega.

Koondame $y$-iga liikmed ja viime arvu $67{,}5$ paremale poole, kus selle märk muutub.

Arvutame paremal poolel. Et $y$ jääks üksi, jagame võrrandi mõlemat poolt arvuga $-7$.

Negatiivse arvu jagamisel negatiivse arvuga saame positiivse arvu.

Asendame $y = 4{,}8$ avaldisse $x = 13{,}5 - 2y$. Kõigepealt korrutame, seejärel lahutame.

Seega punane roos maksab $3{,}9$ eurot ja valge roos $4{,}8$ eurot.

Kontrollime, kas leitud hinnad sobivad mõlema ostuga. Asendame $x = 3{,}9$ ja $y = 4{,}8$ kummassegi võrrandisse ning arvutame eraldi vasaku poole (vp) ja parema poole (pp).

Arvutame esimese võrrandi vasaku poole.

Esimese võrrandi parem pool on $33{,}9$. Pooled on võrdsed.

Arvutame teise võrrandi vasaku poole.

Teise võrrandi parem pool on $27$. Ka siin on pooled võrdsed, seega hinnad on õiged.

Nüüd vastame küsimusele. Madli ostis $3$ punast ja $3$ valget roosi. Arvutame, kui palju see maksis.

Korrutame kummagi roosi hinna rooside arvuga ja liidame.

Madli andis müüjale $30$ eurot. Lahutame sellest ostu maksumuse.