Põhikooli lõpueksam 2024, ülesanne 1: Avaldise lihtsustamine ja lineaarvõrrand
On antud avaldis (5−2x)(2x+5)+(2x−13)2+10.
1.Lihtsusta avaldis.
2.Leia tundmatu x väärtus, mille korral lihtsustatud avaldise väärtus on 2024.
Allikas: Põhikooli matemaatika lõpueksam 2024, ülesanne 1
Valemikaart: abivalemid
a2−b2=(a−b)(a+b)
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a−b)2=a2−2ab+b2
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Esimeses korrutises on samad liikmed 5 ja 2x, üks kord vahena ja teine kord summana. Teine liidetav on vahe ruut.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Ava esimene korrutis ruutude vahe valemiga
Esimeses küsimuses tuleb avaldis lihtsustada. Avaldises on kolm osa ja võtame need ükshaaval ette. Alustame korrutisest.
Teises sulus vahetame liidetavate järjekorra, et oleks näha summa ja vahe korrutis.
(5−2x)(2x+5)=(5−2x)(5+2x)
Kasutame ruutude vahe valemit, kus esimene liige on 5 ja teine liige 2x.
(5−2x)(5+2x)=52−(2x)2=25−4x2
Liitmisel võib liidetavate järjekorda vahetada: 2x+5=5+2x. Siis on näha ruutude vahe valem (a−b)(a+b)=a2−b2, kus a asemel on 5 ja b asemel 2x. Pane tähele, et (2x)2=4x2: ruutu tuleb võtta ka kordaja 2. Sama tulemuse saab, kui korrutada sulud liige-liikme haaval: 10x+25−4x2−10x=25−4x2.
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 1Samm 2: Ava vahe ruut
Kasutame vahe ruudu valemit, kus esimene liige on 2x ja teine liige 13.
(2x−13)2=(2x)2−2⋅2x⋅13+132
Arvutame esimese liikme ruudu, kahekordse korrutise ja teise liikme ruudu.
(2x)2−2⋅2x⋅13+132=4x2−52x+169
Vahe ruudu valem: (a−b)2=a2−2ab+b2, kus a asemel on 2x ja b asemel 13. Keskmine liige on kahekordne korrutis: 2⋅2x⋅13=52x. Viimane liige on 132=169.
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 1Samm 3: Pane osad kokku ja koonda sarnased liikmed
Asendame avaldises kaks esimest osa leitud tulemustega. Liitmise korral võib sulud ära jätta.
25−4x2+4x2−52x+169+10
Paneme sarnased liikmed kõrvuti. Vastandliikmed −4x2 ja 4x2 annavad kokku nulli.
0−4x2+4x2−52x+20425+169+10
Alles jääb lihtsustatud avaldis.
204−52x
Liikmed −4x2 ja 4x2 on vastandarvud ja annavad kokku nulli. Arvud liidame omavahel: 25+169+10=204. Ainus x-iga liige on −52x.
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 2Samm 4: Koosta ja lahenda võrrand
Teises küsimuses peab lihtsustatud avaldise väärtus olema 2024. Kirjutame selle võrrandina ja lahendame.
Võrdsustame lihtsustatud avaldise arvuga 2024.
204−52x=2024
Viime arvu 204 paremale poole. Teisele poole viidud liikme märk muutub.
−52x=2024−204
Arvutame paremal poolel. Et x jääks üksi, jagame võrrandi mõlemat poolt arvuga −52.
−52x=1820:(−52)
Positiivse arvu jagamisel negatiivse arvuga on tulemus negatiivne.
x=−521820=−35
Võrrandi mõlema poole jagamine sama nullist erineva arvuga ei muuda lahendit. Jagatis: 1820:52=35, sest 52⋅35=1820.
5Samm 5Peidetud
5
Küsimus 2Samm 5: Kontrolli lahendit
Kontrollime, kas x=−35 korral on lihtsustatud avaldise väärtus tõesti 2024.
Arvutame võrrandi vasaku poole, kui x=−35. Negatiivse arvu paneme sulgudesse.
vp=204−52⋅(−35)=204+1820=2024
Võrrandi parem pool on arv.
pp=2024
Vasak ja parem pool on võrdsed, seega x=−35 on õige.
2024=2024 ehk vp=pp
Kontroll ei ole kohustuslik, aga see võtab vähe aega ja kinnitab, et märgiviga ei tekkinud.
VASTUS
Lihtsustatud avaldis on 204−52x ning selle väärtus on 2024, kui x=−35.