Põhikooli lõpueksam 2026, ülesanne 3: Lineaarvõrrandisüsteem

Lahendame süsteemi liitmisvõttega. Selleks viime kõigepealt mõlemad võrrandid normaalkujule: tundmatud vasakul ja arv paremal.

Kirjutame esimese võrrandi.

Avame sulud: korrutame sulgude ees oleva arvu sulgude iga liikmega. Paremal $2 \cdot 0{,}5 = 1$.

Viime $y$-iga liikme vasakule ja arvu $-3$ paremale poole. Teisele poole viidud liikme märk muutub.

Liidame paremal poolel arvud.

Nimetajate $2$ ja $3$ vähim ühiskordne on $6$. Korrutame võrrandi mõlemat poolt arvuga $6$.

Korrutame iga liikme kuuega: $\frac{x}{2} \cdot 6 = 3x$, $\frac{y}{3} \cdot 6 = 2y$ ja $1 \cdot 6 = 6$.

Mõlemas võrrandis on liige $3x$. Kui lahutame ühest võrrandist teise, kaob $x$.

Kirjutame normaalkujul võrrandid süsteemina.

Lahutame ülemisest võrrandist alumise: vasakust poolest vasaku ja paremast poolest parema. Lahutatav läheb sulgudesse.

Avame sulud. Miinus sulgude ees muudab sulgudes mõlema liikme märgi.

Koondame: $3x - 3x = 0$ ja $-2y + 4y = 2y$. Et $y$ jääks üksi, jagame võrrandi mõlemat poolt arvuga $2$.

Saame tundmatu $y$ väärtuse.

Asendame $y = 1$ võrrandisse $3x - 2y = 6$.

Viime arvu $-2$ paremale poole, kus selle märk muutub.

Liidame. Et $x$ jääks üksi, jagame võrrandi mõlemat poolt arvuga $3$.

Kirjutame $x$ liigmurru ja segaarvuna.

Lahendit kontrollitakse esialgsetes võrrandites. Asendame $x = \frac{8}{3}$ ja $y = 1$ ning arvutame igas võrrandis eraldi vasaku poole (vp) ja parema poole (pp).

Arvutame esimese võrrandi vasaku poole.

Arvutame esimese võrrandi parema poole.

Vasak ja parem pool on võrdsed, seega esimene võrrand kehtib.

Arvutame teise võrrandi vasaku poole. Murru jagamisel kahega korrutame nimetajat kahega.

Teise võrrandi parem pool on $1$.

Vasak ja parem pool on võrdsed, seega ka teine võrrand kehtib ja lahend on õige.