GÜMNAASIUMTõenäosus ja statistika

Tõenäosuste summa ja Bernoulli valem

Kõigi võimalike tulemuste tõenäosuste summa on alati $1$ . Kui sama katset korratakse mitu korda sõltumatult, annab Bernoulli valem tõenäosuse, et sündmus toimub täpselt $k$ korda.

Tähised

$p_1$ , $p_2$ , …, $p_n$: kõigi võimalike tulemuste tõenäosused
$n$: tõenäosuste summas tulemuste arv; Bernoulli valemis katsete arv
$P_n(k)$: tõenäosus, et $n$ sõltumatus katses toimub sündmus täpselt $k$ korda
$C_n^k$: kombinatsioonide arv: mitmel viisil saab $n$ katse hulgast valida need $k$ , kus sündmus toimub
$p$: sündmuse tõenäosus ühes katses
$k$: sündmuse toimumiste arv

Tõenäosuste summa

p_1 + p_2 + \ldots + p_n = 1

Sellest leiab puuduva tõenäosuse. Sündmuse ja tema vastandsündmuse tõenäosuste summa on samuti $1$ .

Bernoulli valem

P_n(k) = C_n^k \, p^k (1-p)^{n-k}

Kehtib, kui katsed on sõltumatud ja sündmuse tõenäosus $p$ on igas katses sama.

Vähemalt üks kord

P(\text{vähemalt üks}) = 1 - P_n(0) = 1 - (1-p)^n

Vastandsündmus „mitte ühtegi korda“ on lihtsam arvutada.

Harjutuspank

Harjuta seda teemat

30 ülesannet viiel raskusastmel, põhioskusest eksamitasemeni. Iga vastus on arvutiga kontrollitud.

Alusta harjutamist

Lahendamise skeem

1Otsusta, mis on üks katse ja mis on selle õnnestumise tõenäosus $p$ .
2„Täpselt $k$ korda“: kasuta Bernoulli valemit.
3„Vähemalt“ või „kõige rohkem“: liida sobivate $k$ väärtuste tõenäosused või arvuta vastandsündmuse tõenäosus.

Levinud vead

Bernoulli valemit saab kasutada ainult siis, kui katsed on sõltumatud ja tõenäosus $p$ igas katses sama.
Ilma tegurita $C_n^k$ saad ainult ühe kindla järjekorra tõenäosuse.