Kitsas riigieksam 2015, ülesanne 12: Korrapärase nelinurkse püramiidi ruumala ja kaldenurk
Korrapärase nelinurkse püramiidi kõrgus on 10 cm ja põhitahu diagonaal on 12 cm.
1.Tehke ülesande tekstiga sobiv joonis.
2.Arvutage püramiidi ruumalaning nurk külgtahu ja põhitahu vahel.
Allikas: Matemaatika kitsas riigieksam 2015, ülesanne 12
Valemikaart: pythagorase teoreem
a2+b2=c2
a,b on kaatetid,c on hu¨potenuus
Valemikaart: püramiidi ruumala
Sp on po˜hja pindala, H ko˜rgus
V=31SpH
Valemikaart: täisnurkse kolmnurga seosed
sinα=ca,cosα=cb,tanα=ba
a on vastaskaatet,b la¨hiskaatet,c hu¨potenuus
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Põhi on ruut. Diagonaalist saad ruudu külje Pythagorase teoreemiga. Külgtahu ja põhja vaheline nurk on täisnurkses kolmnurgas, mille moodustavad kõrgus, külgtahu kõrgus (apoteem) ja lõik põhja keskpunktist põhiserva keskpunktini.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Tee joonis
Esimeses küsimuses tuleb teha joonis. Korrapärase nelinurkse püramiidi põhi on ruut ja tipp asub põhja keskpunkti kohal. Tähistame põhja ABCD, tipu S ja põhja keskpunkti O (diagonaalide lõikepunkt).
Kõrgus on lõik tipust põhja keskpunktini.
SO=H=10 cm
Põhja diagonaal on lõik AC.
AC=d=12 cm
12 cm10 cmABCDSO
Lohista, et pöörata
Kõrgus SO on risti põhjaga, seega on see risti ka kõigi põhjal asuvate lõikudega, mis läbivad punkti O. Joonisel on kõrgus ja diagonaal katkendjoonena, sest need on keha sees.
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 2Samm 2: Leia põhja külg ja pindala
Teises küsimuses on vaja ruumala. Selleks on vaja põhja pindala. Ruudu diagonaal jagab ruudu kaheks täisnurkseks kolmnurgaks, mille kaatetid on ruudu küljed a ja hüpotenuus on diagonaal.
Kirjutame Pythagorase teoreemi kolmnurgas ABC.
a2+a2=d2
Asendame d=12 ja koondame.
2a2=144
Jagame mõlemaid pooli arvuga 2. See ongi ruudu pindala Sp=a2.
Sp=a2=72 cm2
Ruudu külg on ruutjuur pindalast.
a=72=36⋅2=62 cm≈8,49 cm
12 cm10 cm62 cmSp=72 cm2ABCDSO
Lohista, et pöörata
Ruut on ka romb, seega saab pindala leida ka diagonaalidest: Sp=2d1d2=212⋅12=72 cm². Külge on vaja hiljem nurga leidmiseks.
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 2Samm 3: Arvuta ruumala
Kirjutame püramiidi ruumala valemi.
V=31SpH
Asendame Sp=72 ja H=10.
V=31⋅72⋅10=24⋅10=240 cm3
12 cm10 cm62 cmSp=72 cm2V=240 cm3ABCDSO
Lohista, et pöörata
31⋅72=24.
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 2Samm 4: Leia nurk külgtahu ja põhja vahel
Külgtahu ja põhja vaheline nurk on nende tahkude ühise serva BC suhtes ristuvate lõikude vaheline nurk. Võtame serva BC keskpunkti M. Külgtahu kõrgus SM (apoteem) ja põhjal asuv lõik OM on mõlemad servaga BC risti.
Otsitav nurk on nurk tipus M kolmnurgas SOM.
α=∠SMO
Lõik OM on pool ruudu küljest.
OM=2a=262=32 cm≈4,24 cm
12 cm10 cm62 cm32ABCDSOM
Lohista, et pöörata
Külgtahk BCS on võrdhaarne kolmnurk, seega selle kõrgus SM läheb aluse BC keskpunkti. Punkt O on ruudu keskpunkt, seega on selle kaugus küljest BC pool küljest.
5Samm 5Peidetud
5
Küsimus 2Samm 5: Arvuta nurga suurus
Kolmnurk SOM on täisnurkne (täisnurk tipus O). Nurga α vastaskaatet on kõrgus SO=10 cm ja lähiskaatet OM=32 cm. Kahe kaateti seos on tangens.
Kirjutame tangensi definitsiooni.
tanα=OMSO
Asendame kaatetid.
tanα=3210≈4,24310≈2,357
Leiame taskuarvutiga nurga.
α≈67,0∘
12 cm10 cm62 cm32αABCDSOM
Lohista, et pöörata
Taskuarvutil on vaja pöördfunktsiooni tan−1 ja kraadirežiimi (DEG): tan−12,357≈67,01∘. Apoteemi pikkus oleks SM=102+(32)2=118≈10,86 cm, aga nurga leidmiseks seda vaja ei ole.
VASTUS
1) Joonis on lahenduses. 2) Püramiidi ruumala on 240 cm³ ning külgtahu ja põhitahu vaheline nurk on ligikaudu 67,0∘.