Kitsas riigieksam 2015, ülesanne 4: Rohelised ja punased pliiatsid karbis
Karbis on rohelised ja punased pliiatsid, kokku 27 pliiatsit.Valides juhuslikult ühe pliiatsi, on punase pliiatsi saamise tõenäosus 94.
1.Mitu punast ja mitu rohelist pliiatsit on karbis?
2.Arvutage järgmiste sündmuste tõenäosus:
1)üks juhuslikult võetud pliiats on roheline;
2)kaks juhuslikult võetud pliiatsit on mõlemad punased.
Allikas: Matemaatika kitsas riigieksam 2015, ülesanne 4
Valemikaart: tõenäosus
P=nk
k on soodsate,n ko˜igi vo˜imaluste arv
Valemikaart: kombinatoorika
Pn=n!
Ank=(n−k)!n!
Cnk=k!(n−k)!n!
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Punase pliiatsi tõenäosus on punaste pliiatsite arv jagatud kõigi pliiatsite arvuga. Kahe pliiatsi korral loe kokku, mitmel viisil saab valida kaks pliiatsit kõigi hulgast ja mitmel viisil ainult punaste hulgast.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Leia punaste pliiatsite arv
Esimeses küsimuses tuleb leida, mitu pliiatsit on kumbagi värvi. Punase pliiatsi tõenäosus on punaste pliiatsite arv jagatud kõigi pliiatsite arvuga.
Tähistame punaste pliiatsite arvu tähega k ja kirjutame klassikalise tõenäosuse valemi.
P=nk
Tõenäosus on 94 ja kõiki pliiatseid on n=27.
27k=94
Korrutame mõlemaid pooli arvuga 27.
k=94⋅27=4⋅3=12
27:9=3, seega 94 kõigist pliiatsitest on 4⋅3=12 pliiatsit.
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 1Samm 2: Leia roheliste pliiatsite arv
Rohelised on ülejäänud pliiatsid.
27−12=15
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 2.1Samm 3: Arvuta rohelise pliiatsi tõenäosus
Teise küsimuse esimeses osas võetakse üks pliiats. Soodsaid võimalusi on sama palju kui rohelisi pliiatseid, 15.
Soodsaid võimalusi on 15 ja kõiki võimalusi 27. Taandame murru arvuga 3.
P(roheline)=2715=95
Pliiats on kas roheline või punane, seega saab sama tulemuse ka vastandsündmusest: P(roheline)=1−94=95.
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 2.2Samm 4: Leia kõigi võimaluste arv
Teise küsimuse teises osas võetakse kaks pliiatsit. Valiku järjekord pole oluline, seega loendame võimalusi kombinatsioonidega. Kõigepealt leiame, mitmel viisil saab valida 2 pliiatsit 27 pliiatsi hulgast.
Kirjutame kombinatsioonide arvu valemi.
Cnk=k!(n−k)!n!
Asendame n=27 ja k=2. Taandame 25!-ga.
C272=2!⋅25!27!=227⋅26=27⋅13=351
27!=27⋅26⋅25!, seega jääb pärast taandamist lugejasse 27⋅26=702 ja nimetajasse 2!=2.
5Samm 5Peidetud
5
Küsimus 2.2Samm 5: Leia soodsate võimaluste arv
Soodne on valik, kus mõlemad pliiatsid on punased. Punaseid pliiatseid on 12.
Valime 2 pliiatsit 12 punase pliiatsi hulgast.
C122=2!⋅10!12!=212⋅11=66
6Samm 6Peidetud
6
Küsimus 2.2Samm 6: Arvuta tõenäosus
Kirjutame klassikalise tõenäosuse valemi.
P=nk
Soodsaid võimalusi on 66 ja kõiki 351. Taandame murru arvuga 3.
P(mo˜lemad punased)=35166=11722≈0,188
66=3⋅22 ja 351=3⋅117. Sama tulemuse saab ka korrutamislausega: esimene pliiats on punane tõenäosusega 2712, siis on karbis 26 pliiatsit, neist 11 punast, seega P=2712⋅2611=702132=11722.
VASTUS
1) Karbis on 12 punast ja 15 rohelist pliiatsit. 2) Tõenäosus, et üks juhuslikult võetud pliiats on roheline, on 95, ja tõenäosus, et kaks juhuslikult võetud pliiatsit on mõlemad punased, on 11722≈0,188.