Allikas: Matemaatika kitsas riigieksam 2017, ülesanne 12
Ülesande joonis
Lohista, et pöörata
Valemikaart: püramiidi ruumala
Sp on po˜hja pindala, H ko˜rgus
V=31SpH
Valemikaart: kolmnurga pindala
S=2a⋅h
h on ku¨ljele a to˜mmatud ko˜rgus
Valemikaart: pythagorase teoreem
a2+b2=c2
a,b on kaatetid,c on hu¨potenuus
Valemikaart: täisnurkse kolmnurga seosed
sinα=ca,cosα=cb,tanα=ba
a on vastaskaatet,b la¨hiskaatet,c hu¨potenuus
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Põhja pindalast saad põhiserva. Külgpind koosneb neljast võrdsest kolmnurgast; ühe kolmnurga pindalast saad selle kõrguse (apoteemi). Külgserv ja kõrgus tulevad täisnurksetest kolmnurkadest Pythagorase teoreemiga.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Arvuta põhiserv
Esimeses küsimuses on vaja põhiserva ja külgserva. Korrapärase nelinurkse püramiidi põhi on ruut, mille pindala on külje ruut.
Kirjutame ruudu pindala valemi.
Sp=a2=144
Võtame ruutjuure (külg on positiivne).
a=144=12 m
Sp=144 m212 mABCDS
Lohista, et pöörata
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 1Samm 2: Arvuta ühe külgtahu pindala
Külgpind koosneb neljast võrdsest võrdhaarsest kolmnurgast.
Jagame külgpindala neljaga.
S△=4192=48 m2
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 1Samm 3: Leia külgtahu kõrgus
Külgtahk ABS on kolmnurk, mille alus on põhiserv AB=12 m ja kõrgus on apoteem SE (punkt E on serva AB keskpunkt).
Kirjutame kolmnurga pindala valemi.
S△=2a⋅SE
Asendame S△=48 ja a=12.
48=212⋅SE
Lihtsustame paremat poolt: 212=6.
48=6⋅SE
Jagame mõlemaid pooli arvuga 6.
SE=8 m
12 m8 mABCDSE
Lohista, et pöörata
Võrdhaarses kolmnurgas on tipust alusele tõmmatud kõrgus ühtlasi mediaan, seepärast jaotab see aluse kaheks võrdseks osaks.
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 1Samm 4: Arvuta külgserv
Kolmnurk SEB on täisnurkne (täisnurk tipus E). Kaatetid on apoteem SE=8 m ja pool põhiservast EB=6 m, hüpotenuus on külgserv SB.
Kirjutame Pythagorase teoreemi.
SB2=SE2+EB2
Asendame kaatetid.
SB2=82+62=64+36=100
Võtame ruutjuure.
SB=100=10 m
12 m8 m10 m6 mABCDSE
Lohista, et pöörata
Kaatetid 6 ja 8 ning hüpotenuus 10 on tuntud Pythagorase kolmik (3, 4, 5 kahekordselt).
5Samm 5Peidetud
5
Küsimus 2Samm 5: Märgi ja arvuta nurk
Teises küsimuses on vaja põhiserva ja külgserva vahelist nurka. Märgime selle tipu B juurde: β=∠SBA. Täisnurkses kolmnurgas SEB on nurga β lähiskaatet EB=6 m ja hüpotenuus SB=10 m.
Kirjutame koosinuse definitsiooni.
cosβ=SBEB
Asendame.
cosβ=106=0,6
Leiame taskuarvutiga nurga.
β≈53,1∘
12 m8 m10 m6 mβABCDSE
Lohista, et pöörata
Taskuarvutil on vaja pöördfunktsiooni cos−1 ja kraadirežiimi (DEG): cos−10,6≈53,13∘. Kõik neli külgtahku on võrdsed, seega on põhiserva ja külgserva vaheline nurk igal pool sama.
6Samm 6Peidetud
6
Küsimus 3Samm 6: Leia püramiidi kõrgus
Kolmandas küsimuses on vaja ruumala ja selleks püramiidi kõrgust H=SO, kus O on põhja keskpunkt. Kolmnurk SOE on täisnurkne (täisnurk tipus O): hüpotenuus on apoteem SE=8 m ja kaatet OE on pool põhiservast ehk 6 m.
Kirjutame Pythagorase teoreemi.
SE2=H2+OE2
Avaldame kõrguse ruudu ja asendame.
H2=SE2−OE2=82−62=64−36=28
Võtame ruutjuure ja toome teguri 4 juure alt välja.
H=28=4⋅7=27 m≈5,29 m
12 m8 m6 mHABCDSEO
Lohista, et pöörata
Punkt O on ruudu keskpunkt, seega on selle kaugus põhiservast pool servast: OE=12:2=6 m. Kõrguse jätame täpseks, et ruumala arvutamisel ei tekiks ümardusviga.
7Samm 7Peidetud
7
Küsimus 3Samm 7: Arvuta ruumala
Kirjutame püramiidi ruumala valemi.
V=31SpH
Asendame Sp=144 ja H=27.
V=31⋅144⋅27=48⋅27=967≈254 m3
967≈96⋅2,6458≈253,99 m³, täpsusega 1 m³ on see 254 m³.
VASTUS
1) Telgi põhiserv on 12 m ja külgserv 10 m. 2) Põhiserva ja külgserva vaheline nurk on ∠SBA (joonisel β) ja selle suurus on umbes 53,1∘. 3) Telgi ruumala on 967≈254 m³.