Kitsas riigieksam 2018, ülesanne 11: Käsikirja toimetajad
Kirjastuses töötab 8 toimetajat: 2 meest ja 6 naist.Nende hulgast valiti juhuslikult 2 käsikirja toimetajat.
1.Mitu erinevat võimalust oli 2 toimetaja valimiseks?
2.Kui suur oli tõenäosus, et mõlemad juhuslikult valitud toimetajad olid mehed?
3.Üks toimetaja märkas viga tõenäosusega 0,95 ja teine tõenäosusega 0,80. Kui suur on tõenäosus, et
1)mõlemad toimetajad märkasid viga?
2)vähemalt üks toimetaja märkas viga?
Allikas: Matemaatika kitsas riigieksam 2018, ülesanne 11
Valemikaart: kombinatoorika
Pn=n!
Ank=(n−k)!n!
Cnk=k!(n−k)!n!
Valemikaart: tõenäosus
P=nk
k on soodsate,n ko˜igi vo˜imaluste arv
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Valiku järjekord ei ole oluline, seega kasuta kombinatsioone. Kolmandas küsimuses on toimetajad teineteisest sõltumatud; „vähemalt üks“ on kõige lihtsam leida vastandsündmuse kaudu.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Leia valikute arv
Esimeses küsimuses valitakse 8 toimetaja seast 2. Järjekord pole oluline (paar Mari ja Jaan on sama, mis Jaan ja Mari), seega on tegemist kombinatsioonidega.
Kirjutame kombinatsioonide arvu valemi.
Cnk=k!(n−k)!n!
Asendame n=8 ja k=2 ning taandame 6!.
C82=2!⋅6!8!=2⋅18⋅7=256=28
8!=8⋅7⋅6!, seega murrus taandub 6! ära ja jääb 28⋅7. Kontrolliks: esimest toimetajat saab valida 8 ja teist 7 viisil, aga iga paar on siis loetud kaks korda, seega 28⋅7=28.
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 2Samm 2: Arvuta tõenäosus, et valiti kaks meest
Teises küsimuses on kõiki võimalusi n=28. Soodsad on need valikud, kus mõlemad on mehed. Mehi on ainult 2, seega on selliseid valikuid üks.
Leiame soodsate võimaluste arvu.
k=C22=1
Kirjutame klassikalise tõenäosuse valemi.
P=nk
Asendame k=1 ja n=28.
P=281≈0,036
Sama tulemuse saab ka järjest valides: esimene on mees tõenäosusega 82 ja siis teine mees tõenäosusega 71, seega 82⋅71=562=281.
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 3.1Samm 3: Arvuta tõenäosus, et mõlemad märkasid viga
Kolmandas küsimuses märkab üks toimetaja viga tõenäosusega 0,95 ja teine tõenäosusega 0,80. Toimetajad töötavad eraldi, seega on sündmused sõltumatud. Sõltumatute sündmuste korral on tõenäosus, et toimuvad mõlemad, nende tõenäosuste korrutis.
Korrutame kahe toimetaja tõenäosused.
P(mo˜lemad)=0,95⋅0,80=0,76
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 3.2Samm 4: Arvuta tõenäosus, et vähemalt üks märkas viga
„Vähemalt üks märkas“ on vastandsündmus sündmusele „kumbki ei märganud“. Leiame kõigepealt, kui tõenäoliselt kumbki ei märka viga.
Esimene toimetaja ei märka viga tõenäosusega
1−0,95=0,05
Teine toimetaja ei märka viga tõenäosusega
1−0,80=0,20
Kumbki ei märka viga (sõltumatud sündmused, korrutame).
P(kumbki ei ma¨rka)=0,05⋅0,20=0,01
Vastandsündmuse tõenäosus on ühest lahutatud.
P(va¨hemalt u¨ks)=1−0,01=0,99
Sündmuse ja tema vastandsündmuse tõenäosuste summa on 1. Kontroll liitmisreegliga: 0,95+0,80−0,76=0,99 (mõlema märkamise juhtu ei tohi loendada kaks korda).
VASTUS
1) Kahe toimetaja valimiseks oli 28 võimalust. 2) Tõenäosus, et mõlemad valitud toimetajad olid mehed, oli 281≈0,036. 3) Tõenäosus, et mõlemad toimetajad märkasid viga, on 0,76, ja tõenäosus, et vähemalt üks märkas viga, on 0,99.