Kitsas riigieksam 2018, ülesanne 12: Koonus tipunurgaga 120°

Joonestame koonuse tipuga $S$ ja põhja keskpunktiga $O$. Telglõige on kolmnurk $ASB$, mis läbib koonuse telge $SO$. Selle haarad $SA$ ja $SB$ on moodustajad ($m = 10$ cm), alus $AB$ on põhja diameeter ja tipunurk on $120^\circ$.

Kirjutame jooniselt antud suurused.

Kõrgus $SO$ poolitab tipunurga, seega täisnurkses kolmnurgas $SOB$ on nurk tipu juures $120^\circ : 2 = 60^\circ$. Hüpotenuus on moodustaja $SB = 10$ cm ja raadius $OB$ on selle nurga vastaskaatet.

Kirjutame siinuse definitsiooni täisnurkses kolmnurgas.

Avaldame $r$ ja asendame $m = 10$ cm ning $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Kõrgus $SO$ on nurga $60^\circ$ lähiskaatet.

Kirjutame koosinuse definitsiooni.

Avaldame $h$ ja asendame $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$.

Kirjutame koonuse täispindala valemi.

Asendame $r = 5\sqrt{3}$ cm ja $m = 10$ cm ning avame sulud.

Kirjutame koonuse ruumala valemi.

Asendame $r^2 = (5\sqrt{3})^2 = 75$ ja $h = 5$ cm.